除子

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"除子"是代数几何中的一个重要概念。在黎曼面X上,它可以简单的定义为X上的点的(整系数)形式和 D=\sum_{}^{} n_{p}p。一般地,对于代数闭域上的非奇异代数簇,它可以定义为余维为一的子簇的(整系数)形式和,也可以定义为K^*_X/O^*_X的一个整体截面。在满足一定条件的(可以是奇异的)代数簇上,这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼面上的除子[编辑]

黎曼面X上,它可以简单的定义为X上的点的(整系数)形式和 D=\sum_{}^{} n_{p}p,其中pX上的点。型如p的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。X上的全部除子构成一个交换群,记作\text{Div}(X)

对于X上的非零亚纯函数f,我们可以定义f的除子

\text{div}(f)=\sum_{p}^{}v_{p}(f)p

其中v_{p}(f)fp零点(非零点的阶为零,极点的阶按负值计)。型如\text{div}f的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作\text{Prin(X)}。除子类群定义作\text{Cl}(X)=\text{Div}(X)/\text{Prin(X)}。对于紧黎曼面,这是一个有限生成的交换群,它是紧黎曼面X的一个重要不变量。

层论的观点看,除子是一个局部的概念,对于X上任意的除子 D=\sum_{}^{} n_{p}p,和X开集U,可以定义DU上的限制 D|_{U}=\sum_{p\in U}^{} n_{p}p函子U\mapsto \text{Div}(U)X上的

给定X上任何一个除子D,局部上D都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说,一定存在X的一组开覆盖{U_i}以及每个U_i上的函数f_i,使得D|_{U_i}=\text{div}(f_i)。一般说来,在U_iU_j的交集上,f_if_j的限制未必相等,但易见在U_{ij}上,存在一个处处非零的全纯函数h,使得f_{i}h=f_j。另外,f_i的选取不是唯一的,因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数h来修正它。反过来,任意一组这样的数据\{(U_i, f_i)\},都给出了X上的一个除子。

以上论证表明,黎曼面上的任意一个除子D,都唯一地对应于层K^*_X/O^*_X的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发,不难构造除子D所对应的可逆层\mathcal{O}_X(D):取X的一组开覆盖{U_i},以及每个U_i上的函数f_i,使得D|_{U_i}=\text{div}(f_i)。取U_i上的平凡层\mathcal{O}_{U_i},在交集U_{ij}=U_i\cap U_j上,如前所述\dfrac{f_j}{f_i}U_{ij}上的一个可逆函数,从而它定义了U_{ij}上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射\mathcal{O}_{U_i}|_{U_{ij}}\cong\mathcal{O}_{U_j}|_{U_{ij}},不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件,从而他们给出了X上的一个可逆层。

反过来,对于黎曼面,每个可逆层都来自于一个除子。事实上,若\mathcal{L}是可逆层,令D为任意一个亚纯截面的除子,则\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X(D)

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子,则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看,若两个除子之差为一主除子,我们可以把它们视作等价。上面定义的映射[D]\mapsto \mathcal{O}_X(D)给出了它与\text{Pic}(X)的一个同构。这里\text{Pic}(X)是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子D=\sum_{}^{} n_{p}p,我们可以定义D的次数\text{deg}D=\sum_{}^{} n_{p}。根据定义,这一定是一个有限和。对于紧黎曼面,主除子的次数总为零。由此可见,除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子[编辑]

Cartier除子[编辑]

类群[编辑]

Cartier除子类群[编辑]

Cartier除子定义的线丛[编辑]