除子

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"除子"是代数几何中的一个重要概念。在黎曼面上,它可以简单的定义为上的点的(整系数)形式和。一般地,对于代数闭域上的非奇异代数簇,它可以定义为余维为一的子簇的(整系数)形式和,也可以定义为的一个整体截面。在满足一定条件的(可以是奇异的)代数簇上,这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼面上的除子[编辑]

黎曼面上,它可以简单的定义为上的点的(整系数)形式和,其中上的点。型如的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。上的全部除子构成一个交换群,记作

对于上的非零亚纯函数,我们可以定义的除子

其中零点(非零点的阶为零,极点的阶按负值计)。型如的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作。除子类群定义作。对于紧黎曼面,这是一个有限生成的交换群,它是紧黎曼面的一个重要不变量。

层论的观点看,除子是一个局部的概念,对于上任意的除子,和开集,可以定义上的限制函子上的

给定上任何一个除子,局部上都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说,一定存在的一组开覆盖{}以及每个上的函数,使得。一般说来,在的交集上,的限制未必相等,但易见在上,存在一个处处非零的全纯函数,使得。另外,的选取不是唯一的,因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数来修正它。反过来,任意一组这样的数据,都给出了上的一个除子。

以上论证表明,黎曼面上的任意一个除子,都唯一地对应于层的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。

从Cartier的观点出发,不难构造除子所对应的可逆层:取的一组开覆盖{},以及每个上的函数,使得。取上的平凡层,在交集上,如前所述上的一个可逆函数,从而它定义了上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射,不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件,从而他们给出了上的一个可逆层。

反过来,对于黎曼面,每个可逆层都来自于一个除子。事实上,若是可逆层,令为任意一个亚纯截面的除子,则

易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子,则他们定义的线丛是同构的。

从线丛的观点看,若两个除子之差为一主除子,我们可以把它们视作等价。上面定义的映射给出了它与的一个同构。这里是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。

任意一个除子,我们可以定义的次数。根据定义,这一定是一个有限和。对于紧黎曼面,主除子的次数总为零。由此可见,除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子[编辑]

Cartier除子[编辑]

类群[编辑]

Cartier除子类群[编辑]

Cartier除子定义的线丛[编辑]