隐函数定理

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

数学分析中,隐函数定理是一個(數學上的)工具用來回答下面的問題:以隐函数表示的多變量函數,這函數的變量在局部上是否存在显式的关系?隐函数定理说明,对于一个由关系 f(x, y)=0 表示的隐函数,如果它在某一点的偏微分满足某些条件,则在这点有鄰域使得在該鄰域內 y 可以表示成关于 x 的函数:

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

舉一個簡單例子:假設兩個變數 x, y 滿足隱函數 x2 + y2 − 1 = 0,此隱函數代表了平面上的單位圓,任取單位圓中的一點,那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 y=h(x) 去(局部的)描述這單位圓的圖形?

答案是:除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外,其他點局部上都有 y=h(x) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子[编辑]

讓函数,則单位圆就可以写成满足方程式的点的集合。在圆上的点A附近,y 可以表示成 x 的函数: ,但點B就不行(因為在點B附近,一個 x 會對應到兩個 y 的值)。

讓函數 ,那么方程式 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 的形式的,因为每个都有两个的值与之对应,即

然而在某些點附近,局部地用 來表示 是可能的。比如给定圆上一点 ,如果 ,也就是说如果只選取圓的上半部分的话,在这一点附近 可以写成关于 的函数:。如果 ,在圓的下半部分 也可以写成关于 的函数:

但是,在点 的附近, 无法写成关于 的函数,因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点,也就是說对于附近的每一个 ,都有两个 的值与之对应,這種情況下 無法寫成 的函數。

定理的叙述:欧几里得空间的情况[编辑]

f : Rn+mRm 为一个连续可微函数。这里Rn+m 被看作是两个空间的直积Rn×Rm,于是 Rn+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x1, ..., xny1, ..., ym) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h: RnRm ,讓這函數的圖形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等於集合{ (x, y) | f(x,y) = 0},當然這目標不見得一定可以達成,接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。

固定一点(a,b) = (a1, ..., anb1, ..., bm) 使得 f(ab) = 0,我們希望在點 (a,b) 的附近找到一個 y 关于 x 的函数 h,严格来说,就是说存在 a 的鄰域 URnb邻域 VRm 以及函數:h : UV,使得 h 的函數的圖形 (x, h(x)) 剛好等於 U × V f(x,y) = 0 的集合,也就是說:

要保證这样的函数 h 存在,函数 f雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 (a,b)f雅可比矩阵写作:

其中的矩阵 是函數 f 关于變數 x 的偏微分,而矩陣 f 关于變數 y 的偏微分。隐函数定理说明了:如果是一个可逆矩阵的话,那么满足前面性质的鄰域 UV 和函数 h(x) 就会存在。正式的敘述就是:

f : Rn+mRm连续可微函数,讓 Rn+m 中的坐标记为 (xy), (x, y) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym)。给定一点  (a1, ..., anb1, ..., bm) = (a,b) 使得   f(a,b)=00Rm,是個零向量)。如果 m×m 矩陣 [(∂fi / ∂yj)(a, b) 是可逆矩阵的话(此矩陣即上面的矩陣 ),那么存在 a 的邻域 URnb 的邻域 VRm 以及唯一的连续可微函数 h:UV,使得

對所有的 

一般情形[编辑]

是三个巴拿赫空间,而分别是上的两个开集。设函数:

是一个的函数(见光滑函数),其中,并且对于中的一点,满足:

那么有如下结论:

  • 存在邻域以及邻域
  • 存在一个的函数:,使得对任意,只要,就有

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • (英文)Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. 
  • Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984. 
  • Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2. 
  • Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522. 
  • Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117.