在数学 中,隐函数定理 是一个描述关系以隐函数 表示的某些变量之间是否存在显式关系的定理。隐函数定理说明,对于一个由关系
R
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle R(x,y)=0}
表示的隐函数,如果它在某一点附近的微分 满足某些条件,则在这点附近,
y
{\displaystyle y}
可以表示成关于
x
{\displaystyle x}
的函数:
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
这样就把隐函数关系变成了常见的函数 关系。
定义了函数
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
之后,单位圆就可以写成满足
f
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle f(x,y)=1}
的点的集合。在圆上的每一点,比如点
A 上,
y 都可以表示成关于
x 的函数
y
(
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
,除了点
B 以外。
定义函数
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
,那么方程
f
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle f(x,y)=1}
的所有解的集合构成单位圆 (
{
(
x
,
y
)
|
f
(
x
,
y
)
=
1
}
=
{
(
x
,
y
)
|
x
2
+
y
2
=
1
}
{\displaystyle \{(x,y)|f(x,y)=1\}=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}
)。圆上的点是无法用统一的方法表示成
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=g(x)}
的形式的,因为每个
x
∈
(
−
1
,
1
)
,
{\displaystyle x\in (-1,1),}
都有两个
y
{\displaystyle y}
的值与之对应,即
±
1
−
x
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}
。
然而,局部地用
x
{\displaystyle x}
来表示
y
{\displaystyle y}
是可以的。给定圆上一点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
,如果
y
>
0
{\displaystyle y>0}
,也就是说这点在圆的上半部分的话,在这一点附近
y
{\displaystyle y}
可以写成关于
x
{\displaystyle x}
的函数:
y
=
1
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}
。如果
y
<
0
{\displaystyle y<0}
,附近的
y
{\displaystyle y}
也可以写成关于
x
{\displaystyle x}
的函数:
y
=
−
1
−
x
2
{\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
。
但是,在点
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
的附近,
y
{\displaystyle y}
无法写成关于
x
{\displaystyle x}
的函数,因为
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点,于是对于附近的每一个
x
{\displaystyle x}
,都有两个
y
{\displaystyle y}
的值与之对应。
定理的叙述:欧几里得空间的情况 [ 编辑 ]
设f : R n+m → R m 为一个连续可微 函数。这里R n+m 被看作是两个空间的直积 :R n ×R m ,于是R n+m 中的一个元素写成 (x ,y ) = (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )的形式。
对于任意一点(a ,b ) = (a1 , ..., an , b1 , ..., bm )使得f (a , b ) = 0 ,隐函数定理给出了能否在(a ,b )附近定义一个y 关于x 的函数g ,使得只要:f (x ,y )=0 ,就有y = g ( x )的充分条件。这样的函数g 存在的话,严格来说,就是说存在a 和b 的邻域 U 和V ,使得g 的定义域是:g : U → V ,并且g 的函数图像满足:
{
(
x
,
g
(
x
)
)
∣
x
∈
U
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
U
×
V
∣
f
(
x
,
y
)
=
0
}
.
{\displaystyle \{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.}
隐函数定理说明,要使的这样的函数g 存在,函数
f
{\displaystyle f}
的雅可比矩阵 一定要满足一定的性质。对于给定的一点 (a ,b ),
f
{\displaystyle f}
的雅可比矩阵 写作:
(
D
f
)
(
a
,
b
)
=
[
∂
f
1
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
x
n
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
m
∂
x
n
(
a
,
b
)
|
∂
f
1
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
y
m
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
m
∂
y
m
(
a
,
b
)
]
=
[
X
|
Y
]
{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}
其中的矩阵
X
{\displaystyle X}
是
f
{\displaystyle f}
关于
x
{\displaystyle x}
的偏微分,而
Y
{\displaystyle Y}
是
f
{\displaystyle f}
关于
y
{\displaystyle y}
的偏微分。隐函数定理说明了:如果
Y
{\displaystyle Y}
是一个可逆 的矩阵的话,那么满足前面性质的
U
{\displaystyle U}
、
V
{\displaystyle V}
和函数
g
{\displaystyle g}
就会存在。概括地写出来,就是:
设f : R n+m → R m 为连续可微 函数,并令R n+m 中的坐标记为 (x , y )。给定一点 (a 1 ,...,a n ,b 1 ,...,b m ) = (a, b )使得f (a ,b )=c ,其中c ∈ R m 。如果矩阵[(∂f i /∂y j )(a,b)]是可逆矩阵的话,那么存在a 的邻域U 、b 的邻域V 以及同样是连续可微的函数g :U → V ,满足
{
(
x
,
g
(
x
)
)
}
=
{
(
x
,
y
)
|
f
(
x
,
y
)
=
c
}
∩
(
U
×
V
)
.
{\displaystyle \{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {c} \}\cap (U\times V).}
一般情形 [ 编辑 ]
设
E
1
{\displaystyle E_{1}}
、
E
2
{\displaystyle E_{2}}
和
F
{\displaystyle F}
是三个巴拿赫空间,而
U
{\displaystyle U}
、
V
{\displaystyle V}
分别是
E
1
{\displaystyle E_{1}}
、
E
2
{\displaystyle E_{2}}
上的两个开集 。设函数:
f
:
U
×
V
→
F
{\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}
是一个
C
k
{\displaystyle C^{k}}
的函数(见光滑函数 ),其中
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
,并且对于
E
1
×
E
2
{\displaystyle E_{1}\times E_{2}}
中的一点
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
,满足:
f
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}
,
D
y
f
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
{\displaystyle D_{y}f(x_{0},y_{0})\neq 0}
那么有如下结论:
存在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
的邻域
U
0
⊂
U
{\displaystyle U_{0}\subset U}
以及
y
0
{\displaystyle y_{0}}
的邻域
V
0
⊂
V
{\displaystyle V_{0}\subset V}
;
存在一个
C
k
{\displaystyle C^{k}}
的函数:
φ
:
U
0
→
V
0
{\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}
,使得对任意
(
x
,
y
)
∈
U
0
×
V
0
{\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}
,只要
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
,就有
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)}
。
参考来源 [ 编辑 ]
(英文) Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF) . Iowa State University.
Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984.
Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2 .
Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522 .
Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117 .