在数学 中，隐函数定理 是一个描述关系以隐函数 表示的某些变量之间是否存在显式关系的定理。隐函数定理说明，对于一个由关系
R
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle R(x,y)=0}
微分 满足某些条件，则在这点附近，
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
这样就把隐函数关系变成了常见的函数 关系。
定义了函数
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
之后，单位圆就可以写成满足
f
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle f(x,y)=1}
的点的集合。在圆上的每一点，比如点
A 上，
y 都可以表示成关于
x 的函数
y
(
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
,除了点
B 以外。
定义函数
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
f
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle f(x,y)=1}
单位圆 （
{
(
x
,
y
)
|
f
(
x
,
y
)
=
1
}
=
{
(
x
,
y
)
|
x
2
+
y
2
=
1
}
{\displaystyle \{(x,y)|f(x,y)=1\}=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=g(x)}
x
∈
(
−
1
,
1
)
,
{\displaystyle x\in (-1,1),}
y
{\displaystyle y}
±
1
−
x
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}
然而，局部地用
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
y
>
0
{\displaystyle y>0}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
=
1
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}
y
<
0
{\displaystyle y<0}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
=
−
1
−
x
2
{\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
但是，在点
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
定理的叙述：欧几里得空间的情况 [ 编辑 ] 设f : R n+m R m 连续可微 函数。这里R n+m 直积 ：R n R m R n+m x ,y ) = (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )的形式。
对于任意一点(a ,b ) = (a1 , ..., an , b1 , ..., bm )使得f (a , b ) = 0，隐函数定理给出了能否在(a ,b )附近定义一个y 关于x 的函数g ，使得只要：f (x ,y )=0，就有y = g ( x )的充分条件。这样的函数g 存在的话，严格来说，就是说存在a 和b 的邻域 U 和V ，使得g 的定义域是：g : U → V ，并且g 的函数图像满足：
{
(
x
,
g
(
x
)
)
∣
x
∈
U
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
U
×
V
∣
f
(
x
,
y
)
=
0
}
.
{\displaystyle \{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\}.}
隐函数定理说明，要使的这样的函数g 存在，函数
f
{\displaystyle f}
雅可比矩阵 一定要满足一定的性质。对于给定的一点 (a ,b )，
f
{\displaystyle f}
雅可比矩阵 写作：
(
D
f
)
(
a
,
b
)
=
[
∂
f
1
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
x
n
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
m
∂
x
n
(
a
,
b
)
|
∂
f
1
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
y
m
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
m
∂
y
m
(
a
,
b
)
]
=
[
X
|
Y
]
{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}
其中的矩阵
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
y
{\displaystyle y}
Y
{\displaystyle Y}
可逆 的矩阵的话，那么满足前面性质的
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
g
{\displaystyle g}
设f : R n+m → R m 为连续可微 函数，并令R n+m 中的坐标记为 (x , y )。给定一点 (a 1 ,...,a n ,b 1 ,...,b m ) = (a, b )使得f (a ,b )=c ，其中c ∈ R m 。如果矩阵[(∂f i /∂y j )(a,b)]是可逆矩阵的话，那么存在a 的邻域U 、b 的邻域V 以及同样是连续可微的函数g :U → V ，满足
{
(
x
,
g
(
x
)
)
}
=
{
(
x
,
y
)
|
f
(
x
,
y
)
=
c
}
∩
(
U
×
V
)
.
{\displaystyle \{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {c} \}\cap (U\times V).}
一般情形 [ 编辑 ] 设
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
F
{\displaystyle F}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
开集 。设函数：
f
:
U
×
V
→
F
{\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}
是一个
C
k
{\displaystyle C^{k}}
光滑函数 ），其中
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
E
1
×
E
2
{\displaystyle E_{1}\times E_{2}}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
f
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}
D
y
f
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
{\displaystyle D_{y}f(x_{0},y_{0})\neq 0}
那么有如下结论：
存在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
邻域
U
0
⊂
U
{\displaystyle U_{0}\subset U}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
邻域
V
0
⊂
V
{\displaystyle V_{0}\subset V}
存在一个
C
k
{\displaystyle C^{k}}
φ
:
U
0
→
V
0
{\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}
(
x
,
y
)
∈
U
0
×
V
0
{\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
y
=
φ
(
x
)
{\displaystyle y=\varphi (x)}
参考来源 [ 编辑 ]
（英文） Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF) . Iowa State University. Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984.
Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2
Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522
Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117
![(Df)({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}({\mathbf {a}},{\mathbf {b}})\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcfcdca6f88f8a6d7d0264d4bfab73bd2ff795f)
