集合建構式符號

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

數學裡,集合建構式符號set-builder notation)是常用于描述集合的一種記號,這種描述集合的方式一般也稱為集合抽象化set abstraction)或set comprehension。一般寫為,分別只在於論域的不同,前者的元素恰好是那些符合謂詞P的集合,而後者的元素除了符合謂詞P,還得是S的元素。

範例:三角形數的集合[编辑]

海什木(Alhazen)的正整數和公式推導。

三角形數的集合為例。三角形數有一個規則,它是正整數的和

下面的每一個等式給出了三角形數集合T的一個元素:

其中,n正整數S是左式的結果。

於是我們歸納出一個規則(即公式):

這個規則可代表集合T中的元素。於是,集合T可以簡寫為:

在上面的簡單範例中,我們將一個繁複的集合表示法,透過一個簡單的規則,重新以簡單的符號來表示這個集合。

集合建構式與一階邏輯[编辑]

當一個集合的元素是用某種公式或條件(亦即,一個函數)所產生,這時候就可以用集合建構式來表示,例如:

  • 偶數集合 = 是2的倍數
  • 負數集合 = 是小於0的數

就哲學上來說,這些元素具有某種共同的性質(2的倍數,或是小於0);在一階邏輯中,這個性質可以使用謂詞來表示,而該集合的一般格式為:

以偶數集合為例,其謂詞「是2的倍數」。是2的倍數」,被稱為一個命題函數

集合的元素必定是另一個集合的元素,使得為真(亦即,的一個子集),一般表述為:

或是

在這裡,是謂詞,是主詞(集合中的一個元素),是一個傳回真假值的命題函數

所以,在數學中,謂詞被視為一種布林值函數

在實例中,如果沒有指定集合,就表示集合是由謂詞所給出。

集合建構式例句[编辑]

  • 正整數集合可用下列建構式表示:
    • 是大於0的整數
  • 偶數集合可用下列建構式表示:
    • 是2的倍數
  • 負數集合可用下列建構式表示:
    • 是小於0的數
  • 平方數集合可用下列建構式表示:
    • 是某個整數的平方
    • s.t.

在這裡,有幾個習慣用法:

  • 冒號和豎線是一樣的,意思是「使得(such that,簡寫為s.t.)」。一般來說,冒號與豎線只使用在最前面,接下來的「使得」都使用別的符號,例如s.t.或是。但是偶爾也會看到這樣的句子,奇數
另一個更簡潔的句子可以表達相同的意思:
  • 一般來說,是省略不寫的,但是偶爾會看到使用的句子。一個複雜的例句如下,非平方數:

参见[编辑]

外部链接[编辑]