雙三斜十二面體

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雙三斜十二面體
雙三斜十二面體
(點選檢視旋轉模型)
類別 均勻星形多面體
24
60
頂點 20
歐拉特徵數 F=24, E=60, V=20 (χ=-16)
面的種類 12個正五邊形{5}
12個五角星{5/2}
面的佈局英语Face configuration 12{5}+12{5/2}
頂點圖 (5.5/3)3
威佐夫符號英语Wythoff symbol 3 | 5/3 5
3/2 | 5 5/2
3/2 | 5/3 5/4
3 | 5/2 5/4
對稱群 Ih, [5,3], *532
參考索引 U41, C53, W80
對偶 內側三角六邊形二十面體
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
(5.5/3)3
頂點圖
DU41 medial triambic icosahedron.png
內側三角六邊形二十面體
(對偶多面體)

幾何學中,雙三斜十二面體[1]是非凸均勻多面體中的一種星形多面體,其索引編號為U41。溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型,其中也收錄了此種形狀,並給予編號W80[2]。其可以視為小雙三斜三十二面體經過刻面英语faceting後的多面體[3]

雙三斜十二面體的對偶多面體是一種星形二十面體,是由凹六邊形組成的內側三角六邊形二十面體

性質[编辑]

雙三斜十二面體共有24個面、60條邊和20個頂點[4][5]

面的組成[编辑]

雙三斜十二面體由24個面組成,其24個面中,有12個五邊形和12個五角星,每個面都是3個五邊形和3個五角星的公共頂點

頂點座標[编辑]

邊長為單位長,且幾何中心位於原點的雙三斜十二面體的頂點座標為[6][7]

二面角[编辑]

雙三斜十二面體的二面角五平方根倒數反餘弦值[8]

對偶多面體[编辑]

雙三斜十二面體的對偶多面體是內側三角六邊形二十面體,是一個具有20個面、60條邊和24個頂點,由20個全等的凹六邊形構成的星形多面體。

相關多面體[编辑]

由於雙三斜十二面體的凸包正十二面體,且也無任何頂點位於其凸包內部,因此會與其他凸包為正十二面體、無頂點位於其凸包內部的多面體有相同的頂點排佈,例如小雙三斜三十二面體大雙三斜三十二面體。另外,其稜排佈也與小雙三斜三十二面體、大雙三斜三十二面體和五複合立方體相同。其中,雙三斜三十二面體相同的原因是因為擁有共同的五角星面、大雙三斜三十二面體亦相同的原因是因為擁有擁有共同的五邊形面。

a{5,3} a{5/2,3} b{5,5/2}
CDel label5-2.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h3.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel label5-4.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png = CDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node h3.pngCDel 5-2.pngCDel node.png
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
小雙三斜三十二面體
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
大雙三斜三十二面體
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
雙三斜十二面體
Dodecahedron.png
正十二面體 (凸包)
Compound of five cubes.png
五複合立方體

此外,其可以視為正十二面體刻面英语faceting後的多面體:將五邊形面改成位在正十二面體內部可能的五邊形內,其餘以五角星面填滿剩下的部分形成封閉的多面體。

對偶多面體[编辑]

雙三斜十二面體的對偶多面體。

雙三斜十二面體的對偶多面體為內側三角六邊形二十面體,是一種星形二十面體。但由於其與《五十九種二十面體》中收錄的大三角六邊形二十面體有些許不同,因此被描述為「遺失的星形二十面體」[9][10]

拓樸正多面體[编辑]

由於雙三斜十二面體的五角星形面可經由拓樸變形變為五邊形面,因此,這種形狀在拓樸中相當於六階五邊形鑲嵌的商空間。

Uniform tiling 553-t1.png

因此在另外一個索引中也被看作是一種抽象英语Abstract_polytope的正多面體[11]

多面體 DU36 medial rhombic triacontahedron.png
內側菱形三十面體
Dodecadodecahedron.png
十二合十二面體
DU41 medial triambic icosahedron.png
內側三角六邊形二十面體
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
雙三斜十二面體
Excavated dodecahedron.png
凹五角錐十二面體
頂點圖 {5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
{5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/3)3
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
Medial triambic icosahedron face.png
30個菱形
Rhombus definition2.svg
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Medial triambic icosahedron face.png
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Star hexagon face.png
鑲嵌 Uniform tiling 45-t0.png
{4, 5}
Uniform tiling 552-t1.png
{5, 4}
Uniform tiling 65-t0.png
{6, 5}
Uniform tiling 553-t1.png
{5, 6}
Uniform tiling 66-t2.png
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

對偶複合體[编辑]

雙三斜十二面體與其對偶的複合體為複合雙三斜十二面體內側三角六邊形二十面體。其共有44個面、120條邊和44個頂點,其尤拉示性數為-32,虧格為17,有32個非凸面,在威佐夫記號中以(3 5/3 | 5)表示[12]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Polyhedra 多面體: 41) 雙三斜十二面體 (Ditrigonal Dodecadodecahedron). 元朗商會中學. (原始内容存档于2016-09-01). 
  2. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  3. ^ MathWorldDitrigonal Dodecadodecahedron的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  4. ^ ditrigonal dodecadodecahedron. bulatov.org. (原始内容存档于2016-03-26). 
  5. ^ Uniform Polyhedra 41: ditrigonal dodecadodecahedron. mathconsult. (原始内容存档于2015-12-17). 
  6. ^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
  7. ^ Data of Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-09-01). 
  8. ^ Versi-Regular Polyhedra: Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  9. ^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11. (原始内容存档于2016-03-13).  Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De2f2
  10. ^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
  11. ^ David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大學. (原始内容存档于2016-03-04). 
  12. ^ compound of ditrigonal dodecadodecahedron and medial triambic icosahedron. bulatov.org. (原始内容存档于2015-09-06). 

外部連結[编辑]