雙代數

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,域 上的雙代數是兼具 上之結合代數(具單位元)與餘代數的結構,而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數

定義[编辑]

相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態,這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態,因為兩者由相同的交換圖刻劃。

由單位圖表的對稱性,也可導出下述事實:如果 是雙代數,而且 具有良好的對偶空間 (例如當 維度有限時),則 也帶有自然的雙代數結構。

圖表[编辑]

定義中的相容性由以下交換圖給出:

乘法與餘乘法相容:

Bialgebra commutative diagrams

乘法與餘單位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

餘乘法與單位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

單位元與餘單位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

在此 是代數乘法,而 是代數之單位元。 是餘代數乘法,而 是餘代數單位元。 定義為

式子[编辑]

若以算式具體描述,則相容關係有如下之表示(在此採用省略 之 Sweedler 記法):

乘法與餘乘法相容:

乘法與餘單位元相容:

餘乘法與單位元相容:

單位元與餘單位元相容:

在此我們省略代數乘法之映射 ,而直接以兩項並置表之。同理,單位元 直接以單位元素 表示(對應到 )。

相關文獻[编辑]

  • Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

參見[编辑]