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雙四角錐柱

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雙四角錐柱
雙四角錐柱
雙四角錐柱
類別詹森多面體
J14 - J15 - J16
對偶多面體雙四角錐台英语Square bifrustum
識別
名稱雙四角錐柱
參考索引J15
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
esquidpy
性質
12
20
頂點10
歐拉特徵數F=12, E=20, V=10 (χ=2)
組成與佈局
面的種類8個三角形
4個正方形
頂點圖2個(34)
8個(32.42)
對稱性
對稱群D4h, [4,2], (*422)
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
D4, [4,2]+, (422)
圖像
立體圖
Dual elongated square dipyramid.png
雙四角錐台英语Square bifrustum
(對偶多面體)
Johnson solid 15 net.png
(展開圖)

雙四角錐柱是指以四邊形為基底的雙角錐柱,其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成。若雙四角錐柱的基底為正方形,且側面都是正多邊形的話,則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體,為92種詹森多面體中的其中一個,其索引為J15[1]。詹森多面體是凸多面體,面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體,共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森英语Norman Johnson (mathematician)(Norman Johnson)命名並給予描述[2]

雙四角錐柱因其形似鉛筆又稱為鉛筆立方體pencil cube)或12面鉛筆立方體(12-faced pencil cube) [3]:46-47[4]

性質[编辑]

雙四角錐柱共由12個面、20條邊和10個頂點組成[5][6][7],在其12個面中,有8個三角形面和4個正方形[5]。在其10個頂點中,有兩種頂點,一種頂點為4個三角形的公共頂點,在頂點圖中可以用[34]來表示[8],這種頂點有2個[7]、另外一種頂點為2個三角形和2個正方形的公共頂點,在頂點圖中可以用[32,42]來表示[8],這種頂點有8個[7]

體積與表面積[编辑]

若一個雙四角錐柱邊長為,則其體積與表面積為:[9]

這樣的雙四角錐柱整體的高為:[9]

二面角[编辑]

雙四角錐柱共有3種二面角,分別為三角形和正方形的二面角、三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角[8]。其中正方形和正方形的二面角為直角,即90度角。[8]

正方形正方形

而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值,約為144.7356度:[8]

三角形正方形

三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值,約為109.471度:[8]

三角形三方形

頂點座標[编辑]

若一個雙四角錐柱邊長為單位長,且幾何中心位於原點,則其頂點座標為:[10][8]

相關多面體[编辑]

一種非正多邊形面的雙四角錐柱的特例是空間填充多面體。這種雙四角錐柱的三角形面不是正三角形,三角形的邊長比為[3]

Elongated oblate octahedron.pngElongated oblate octahedron net.png

其可以被認為是立方體堆砌菱形十二面體堆砌英语Rhombic dodecahedral honeycomb之間的過渡立體[3]:46-47。其胞在下圖中根據它們在空間中的方向被著色為白色、紅色和藍色。其四角錐帽具有的面是較短的等腰三角形面,其中6個四角錐帽會聚在一起形成一個立方體。這種堆砌體的對偶是由兩種八面體(正八面體三角反棱柱)組成的,由八面體疊加到截半的立方體堆砌的中的截半立方體中形成。兩種堆砌體都具有對稱性。

HC-J15.png
雙四角錐柱堆砌
Elongated oblate octahedron-red-green-blue-honeycomb.png
一半的堆砌
Elongated square tiling.svg
倒角正方形鑲嵌

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Square Dipyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics英语Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. Thames & Hudson. ISBN 978-0500340332. 
  4. ^ Goldberg, Michael. On the space-filling octahedra. Geometriae Dedicata. 1981-01, 10 (1): 323–335. doi:10.1007/BF01447431. 
  5. ^ 5.0 5.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07]. 
  6. ^ The Elongated Square Bipyramid. qfbox.info. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Elongated square bipyramid. polyhedra.tessera.li. 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 Richard Klitzing. elongated square dipyramid, esquidpy. bendwavy.org. 
  9. ^ 9.0 9.1 Sapiña, R. Area and volume of the Johnson solid J15. Problemas y ecuaciones. [2020-09-09]. ISSN 2659-9899 (西班牙语). 
  10. ^ David I. McCooey. Data of Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07].