雙曲複數

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

雙曲複數是異於複數實數的推廣。

定義[编辑]

考慮數z=x+jy,其中x,y實數,而量j不是實數,但j^2是實數。

選取j^2=-1,得到一般複數。取+1的話,便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法乘法如下,使之符合交換律結合律分配律

(x+jy) + (u+jv) = (x+u) + j(y+v)
(x+jy)(u+jv) = (x+jy)(u)+(x+jy)(jv) = xu+jyu+jxv+j^2 yv = (xu+yv) + j(xv+yu)

共軛、範數[编辑]

對於z=x+jy,其共軛值z^*=x-jy。對於任何雙曲複數z,w

(z+w)^* = z^* + w^*
(zw)^* = z^* w^*
(z^*)^* = z

可見它是自同構的。

定義內積\langle z, w \rangle = Re(zw^*) = Re(zw^*) = xu-yv 。若 \langle z, w \rangle = 0 ,說z,w(雙曲)正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基範數):

\lVert z \rVert = \langle z, z \rangle = z z^* = z^* z = x^2 - y^2

這個範數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變:\lVert zw \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert

除法[编辑]

除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{z^*}{z z^*} = \frac{z^*}{\lVert z \lVert}

由此可見,雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為k(1 \pm j),其中k是實數。

[编辑]

雙曲複數的冪等元有:

列方程(x+jy)^2 = (x^2 + y^2) + 2xyj。有四個解:1,0,s=(1-j)/2,s^*=(1+j)/2

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^*

若將z=ae+be^*表示成(a,b),雙曲複數的乘法可表示成(a,b)(c,d)=(ac,bd) 。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為(a,b)^* = (b,a),範數\lVert (a,b) \rVert = ab

幾何[编辑]

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間,表示為R1,1。正如歐几里得平面R2的幾何學可以複數表示,閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

R,對於非零的a,點集 \{z : \lVert z \lVert = a^2 \}雙曲線。左邊和右邊的會經過a-aa=1稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是\{z : \lVert z \lVert = -a^2 \} ,會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 \{z : \lVert z \lVert = 0 \} 分開。

歐拉公式的相應版本是e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)

歷史[编辑]

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀,雙曲複數成為描述狹義相對論勞侖茲變換的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。