雙曲複數

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

雙曲複數乘法表
× 1 j
1 1 j
j j 1

雙曲複數英语:hyperbolic numbersSplit-complex number),是異於複數而對實數所做的推廣。

定義[编辑]

考慮數,其中實數,而量不是實數,但是實數。

選取,得到一般複數。取的話,便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法乘法如下,使之符合交換律結合律分配律

共軛、範數[编辑]

對於,其共軛值。對於任何雙曲複數

可見它是自同構的。

定義內積 。若 ,說(雙曲)正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基範數):

這個範數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變:

除法[编辑]

除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

由此可見,雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為,其中是實數。

[编辑]

雙曲複數的冪等元有:

列方程。有四個解:

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的

若將表示成,雙曲複數的乘法可表示成 。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為,範數

幾何[编辑]

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間,表示為R1,1。正如歐几里得平面R2的幾何學可以複數表示,閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

R,對於非零的,點集 雙曲線。左邊和右邊的會經過稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是 ,會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 分開。

歐拉公式的相應版本是

歷史[编辑]

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀,雙曲複數成為描述狹義相對論勞侖茲變換的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。