雙極圓柱坐標系

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雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 -等值曲線,藍色圓圈則是 -等值曲線。

雙極圓柱坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 ,其直角坐標 分別設定為 。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線, ,稱為焦線

基本定義[编辑]

雙極圓柱坐標 通常定義為

其中,點 坐標等於 的弧度, 坐標等於 的比例的自然對數

注意到焦線 的坐標分別為

坐標曲面[编辑]

雙極坐標的幾何詮釋。 的夾角 的弧度是 的比例的自然對數 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。

不同 坐標曲面是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線 的圓柱面:

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 的圓柱面的圓心線都在 半空間;而負值 的圓柱面的圓心線則在 半空間。當絕對值 增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時, 達到最大值

不同 坐標曲面是一組圍著焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 的圓柱面在 半空間;而負值 的圓柱面在 半空間。 平面則與 yz-平面同平面。當 值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。

逆變換[编辑]

Bipolar sigma isosurfaces.png
Bipolar tau isosurfaces.png

雙極圓柱坐標 可以用直角坐標 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

的比例的自然對數

是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 的夾角。這夾角的弧度是 。用餘弦定理來計算:

z-坐標的公式不變:

標度因子[编辑]

雙極圓柱坐標 的標度因子相等;而 的標度因子是 1 :

所以,無窮小體積元素等於

拉普拉斯算子

其它微分算子,例如 ,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用[编辑]

雙極圓柱坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體,請問其周圍的電場為什麼?應用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7. 
  • Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.