雙精度浮點數

浮點數精度
IEEE 754
單精度浮點數 雙精度浮點數
其他
高精度计算

雙精度浮點數(double)是计算机使用的一種資料型別。比起單精度浮點數，雙精度浮點數(double)使用 64 位（8字节） 來儲存一個浮點數。 它可以表示十进制的15或16位有效数字，其可以表示的数字的绝对值范围大约是$[ 2.23 \times 10^{-308} , \text{1.79} \times 10^{308} ]$。

§格式

sign bit(符號): 用來表示正負號

exponent(指數): 用來表示次方數

mantissa(尾數): 用來表示精確度

§符号

0代表數值為正，1代表數值為負。

§指数

类比整型使用所有位为0的数字表示数值“0”，双精度浮点数表示0时指数部分也为0。若如此，便可能产生冲突：比如全0的数字可能表示“0”，也可能表示$\text{1} \times \text{2}^{0} \text{= 1}$（参考下文“尾数”的解释）。于是此处规定，指数使用0x3ff（十进制1023）的偏移量，便有以下规则：

• 0x000：用來代表0（mantissa=0）或下溢数（mantissa不為0）。

• 0x7ff：用來代表无穷大（mantissa=0）或NaN（mantissa不為0）。

• 其他：代表2的（exponent-0x3ff）次方。

§尾數

在二進位的「科學記號」，數字被表示為：

$\text{Mantissa} \times \text{2}^\text{exponent}$

为了最大限度提高精确度，可以要求尾数规格化，把尾数处理到大于等于1而小于2的区间内，便可省去前导的“1”。例如：

 二进制的  $\text{11.101} \times \text{2}^\text{1001}$ 可以规格化为 $\text{1.1101} \times \text{2}^\text{1010}$，存储时尾数只需要存储1101即可

 二进制的  $\text{0.00110011} \times \text{2}^\text{-1100}$ 可以规格化为 $\text{1.10011} \times \text{2}^\text{-1001}$，存储时尾数只需要存储10011即可

于是，可得以下形式：$\text{1.mantissa} \times \text{2}^\text{exponent}$

§小結

根據以上的敘述，一個雙精度浮點數所代表的數值為： $(-1)^{\text{sign}} \times 2^{\text{exponent} - \text{0x3ff}} \times 1.\text{mantissa}$

§例子

 3ff0 0000 0000 0000   = 1

 c000 0000 0000 0000   = -2

 7fef ffff ffff ffff   ~ 1.7976931348623157 x 10308 (Max Double)

 3fd5 5555 5555 5555   ~ 1/3

 0000 0000 0000 0000   = 0
 8000 0000 0000 0000   = -0

 7ff0 0000 0000 0000   = 無限大

 fff0 0000 0000 0000   = 負無限大

§參閱

• IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）
• 浮点数