雙精度浮點數

浮點數精度
IEEE 754
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高精度计算

雙精度浮點數（double）是计算机使用的一種資料型別。比起單精度浮點數，雙精度浮點數(double)使用 64 位（8字节） 來儲存一個浮點數。 它可以表示十进制的15或16位有效数字，其可以表示的数字的绝对值范围大约是$[2.23\times 10^{-308},{\text{1.79}}\times 10^{308}]$$[2.23\times 10^{{-308}},{\text{1.79}}\times 10^{{308}}]$。

格式

sign bit(符號): 用來表示正負號

exponent(指數): 用來表示次方數

mantissa(尾數): 用來表示精確度

符号

0代表數值為正，1代表數值為負。

指数

类比整型使用所有位为 0 的数字表示数值“0”，双精度浮点数表示 0 时指数部分也为 0。若如此，便可能产生冲突：比如全 0 的数字可能表示“0”，也可能表示 ${\text{1}}\times {\text{2}}^{0}{\text{= 1}}$${\text{1}}\times {\text{2}}^{{0}}{\text{= 1}}$（参考下文“尾数”的解释）。于是此处规定：

• ${\text{000}}_{16}$${\text{000}}_{16}$：用來代表带符号的 0（尾数为 0）或下溢数（尾数不為 0）。

• ${\text{7ff}}_{16}$${\text{7ff}}_{16}$：用來代表无穷大（尾数为 0）或[ [NaN]]（尾数不為 0）。

• 其他：代表 2 的（exponent-0x3ff）次方。

尾數

在二進位的「科學記號」，數字被表示為：

${\text{Mantissa}}\times {\text{2}}^{\text{exponent}}$${\text{Mantissa}}\times {\text{2}}^{{\text{exponent}}}$

为了最大限度提高精确度，可以要求尾数规格化，把尾数处理到大于等于1而小于2的区间内，便可省去前导的“1”。例如：

 二进制的  ${\text{11.101}}\times {\text{2}}^{\text{1001}}$${\text{11.101}}\times {\text{2}}^{{\text{1001}}}$ 可以规格化为 ${\text{1.1101}}\times {\text{2}}^{\text{1010}}$${\text{1.1101}}\times {\text{2}}^{{\text{1010}}}$，存储时尾数只需要存储1101即可

 二进制的  ${\text{0.00110011}}\times {\text{2}}^{\text{-1001}}$${\text{0.00110011}}\times {\text{2}}^{{\text{-1001}}}$ 可以规格化为 ${\text{1.10011}}\times {\text{2}}^{\text{-1100}}$${\text{1.10011}}\times {\text{2}}^{{\text{-1100}}}$，存储时尾数只需要存储10011即可

于是，可得以下形式：${\text{1.mantissa}}\times {\text{2}}^{\text{exponent}}$${\text{1.mantissa}}\times {\text{2}}^{{\text{exponent}}}$

小結

根據以上的敘述，一個雙精度浮點數所代表的數值為： $(-1)^{\text{sign}}\times 2^{{\text{exponent}}-{\text{0x3ff}}}\times 1.{\text{mantissa}}$$(-1)^{{{\text{sign}}}}\times 2^{{{\text{exponent}}-{\text{0x3ff}}}}\times 1.{\text{mantissa}}$

例子

 3ff0 0000 0000 0000   = 1

 c000 0000 0000 0000   = -2

 7fef ffff ffff ffff   ~ 1.7976931348623157 x 10308 (Max Double)

 3fd5 5555 5555 5555   ~ 1/3

 0000 0000 0000 0000   = 0
 8000 0000 0000 0000   = -0

 7ff0 0000 0000 0000   = 無限大

 fff0 0000 0000 0000   = 負無限大

參閱

• IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）
• 浮点数