雙線性形式

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在域 F 中,向量空間 V雙線性形式指的是一个V × VF 上的线性函数 B, 满足:

,映射:

都是线性的。這個定義也適用於交換環,这时线性函数要改为模同态

注意一個雙線性形式是特別的双线性映射

坐標表法[编辑]

如果V是n維向量空間,设V的一组。定义 阶的矩阵A使得。当 的矩阵xy表示向量uv时,双线性形式B可表示为:

考虑另一组基 ,其中S是一个可逆的 阶矩阵(基底转换矩阵),则双线性形式在下的矩阵的形式为:

对偶空间映射[编辑]

V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的对偶空间V*的線性函数。 定义

常常記作:

這裡的(–)是放变量的位置。

如果 V是有限维空间的话,V和它的雙对偶空間V**是同构的,这时B2B1 的轉置映射(如果V是无限维空间,B2限制在VV**的像下的部分是B1 的轉置映射)。 定義B的轉置映射為雙線性形式:

如果 V是有限维空间,B1B2 的秩相等。如果他们的秩等于V的維数的话,B1B2 就是由VV*的同构映射(显然B1是同构当且仅当B2 是同构),此时,B非退化的。实际上在有限维空间里,这常常作为非退化的定义:B非退化的当且仅当

镜像對稱性和正交性[编辑]

雙線性形式 B : V × VF镜像對稱的当且仅当:

有了镜像對稱性,就可以定义正交:两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当:
一个双线性形式的是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的当且仅当(等价于),根一般是V的子空间,

当A是非奇异矩阵,即当B是非退化时,根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间,定义

B是非退化时,映射是双射,所以的维数等于dim(V)-dim(W)。

可以证明,雙線性形式B镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一:

  • 對稱的:
  • 交替(alternating)的:

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)(或称反对称(antisymmetric))的,只要展开

B(v+w,v+w)就可看出。

F特征不为2时,逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而,当char(F)=2时,斜对称就是对称,因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的,且主对角线上都是零。(在F特征不为2时的情况下)

一个双线性形式是对称的当且仅当 相等,是旋钮对称的当且仅当。char(F) ≠ 2 时,一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解:

其中B* 是B 的转置映射。

不同空間的推廣[编辑]

這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形:

B: V × WF.

此時仍有從 VW 的對偶、及從 WV 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維,則只要其中之一是同構,另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對

張量積關係[编辑]

張量積泛性質 上的雙線性形式一一對映至線性映射 :若 上的雙線性形,則相應的映射由下式給出

所有從 的線性映射構成 的對偶空間,此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素:

同理,對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S2V* 的元素,而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ2V* 的元素。

參考[编辑]

外部链接[编辑]