零角形

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正零邊形
正0邊形.png
類型正多邊形
0
頂點0
施萊夫利符號{0}
t{0}
考克斯特圖英语Coxeter diagramCDW ring.svgCDel 0x.pngCDW dot.svg
對稱群二面體群 (D0)
旋轉群D0
內角∞°
對偶正零邊形 (本身)

零邊形又稱零邊形0-gon[1]zerogon[2] )是一種多邊形,根據多邊形的定義,其代表著0條邊和0個頂點的封閉圖形,通常是在討論多邊形的退化形式,在不同的領域中有不同的定義,因為一個多邊形不可能同時沒有邊也同時沒有頂點。零邊形或零角形定義是否有效取決於其上下文對這種數學結構的描述方式,根據性質的不同,有時用於表示沒有邊的幾何結構[3],或者有邊但沒有頂點的幾何結構[4]

抽象幾何學英语Abstract_polytope中,對應的概念為空多胞形,指不存在任何元素多胞形[5],對應到集合論中即為空集[6]。部分非正式的場合會將零角形視為圓形[7]

定義[编辑]

根據多邊形原本的定義,零邊形應指沒有邊也沒有頂點的幾何結構,為一個已退化至無法構造的結構。由於零邊形是指沒有頂點的幾何形狀,因此不存在任何邊和角,內角和亦不存在。根據多邊形內角計算公式可得正零邊形的內角為無窮大度,但是討論零邊形的內角是沒有意義的,因為它不存在任何邊和角。

然而部分研究將零邊形定義為沒有邊的[8],即無邊圖,或拓樸上沒有頂點的數學實體[4][9],亦有部分研究將零邊形當成圓形,或其他沒有頂點的封閉曲線[10],亦有部分圖論的研究將之視為三角形(n=3)等多邊形在n=0的推廣[11]

近多邊形[编辑]

近多邊形英语Near polygon中,零邊形代表一個頂點[12]

無邊地區圖[编辑]

無邊地區圖
類別正則地區圖
抽象多胞形英语Abstract polytope
射影多面體英语projective polyhedron
對偶多面體(自身對偶)
數學表示法
施萊夫利符號{0,0}[13]
性質
1
0
頂點1
歐拉特徵數F=1, E=0, V=1 (χ=2)
組成與佈局
面的種類零邊形
頂點圖零邊形
對稱性
對稱群單元素群[14], 1階[13]

部分定義下的0-gon代表由一個頂點、零個邊構成的多邊形[12]。這種只有一個頂點、零個邊的多邊形有時又被稱為零邊形。這種幾何結構可以構成一種特殊的抽象一面體,其對應的正則地區圖為無邊地區圖(edgeless map),由1個零邊形面、1個頂點組成,其不存在邊[13]。這種抽象多面體可以具象化為射影平面上的一個點,其面佔據整個射影平面。這種多面體在施萊夫利符號中可以用{0,0}表示[13],這個符號代表的意思是每個頂點都是0個零邊形的公共頂點,在部分定義下是無意義的,因為實際上頂點周圍是存在1個零邊形面,然而「每個頂點都是1個零邊形的公共頂點」施萊夫利符號需要表示為{0,1},這代表其對偶多面體為{1,0},即「每個頂點都是0個一角形的公共頂點」,而無邊地區圖是一個自身對偶的正則地區圖,因此得到矛盾。[13]

無邊地區圖是一種自身對偶的正則地區圖,這意味著其對偶多面體為本身,同時其皮特里對偶也是本身。[13]無邊地區圖對應的骨架圖為K1完全圖。[15]

K1到K5的完全圖

零面體[编辑]

零面體
類別抽象多胞形英语Abstract polytope
對偶多面體不存在[註 1]
性質
0
1
頂點2
歐拉特徵數F=0, E=1, V=2 (χ=1)
組成與佈局
面的種類不存在
頂點圖不存在[註 2]

零角形的概念同樣可以推廣到多面體中。在核物理學中,有時會將無法成為多面體的核殼層結構稱為零面體(zerohedron)[17]。例如,部分文獻將由2個粒子組成的結構之形狀以零面體描述,其由2個頂點、1條邊和0個面組成[16]

幾種核殼層模型的可能構型,最左邊因為無法構成面被稱為零面體(zerohedron)[17]

參見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 根據核殼層結構論文,其指出這種結構有2個頂點、0個面[16],依照對偶多面體的定義,面和頂點將交換,其對偶多面體將會存在0個頂點和2個面,然而沒有頂點的幾何結構將無法構成面,因此無法定義這種立體的對偶多面體。
  2. ^ 頂點圖主要是探討面在頂點周圍的分布,然而這種立體不存在面,因此無法探討其頂點圖。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Przytycki, Jozef H. Positive knots have negative signature. arXiv preprint arXiv:0905.0922. 2009. 
  2. ^ Heath, Daniel J. On classification of Heegaard splittings. Osaka Journal of Mathematics (Osaka University and Osaka City University, Departments of Mathematics). 1997, 34 (2): 497––523. 
  3. ^ Hagge, Tobias J. on the necessity of reidemeister moves of type Ω2. arXiv preprint math/0404145 (Citeseer). 2008. 
  4. ^ 4.0 4.1 Foozwell, Bell. The universal covering space of a Haken --manifold. arXiv preprint arXiv:1108.0474. 2011. 
  5. ^ H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589. 
  6. ^ Johnson, Norman英语Norman Johnson (mathematician). Polytopes-abstract and real. Citeseer. 2003. 
  7. ^ BLACHOICE-ANGLE CUP幾何杯. 欣傳媒. 
  8. ^ Hagge, Tobias. Every Reidemeister move is needed for each knot type. Proceedings of the American Mathematical Society. 2006, 134 (1): 295––301. 
  9. ^ Foozwell, Bell and Rubinstein, Hyam. Introduction to the theory of Haken n-manifolds. Topology and geometry in dimension three. 2011: 71––84. 
  10. ^ Gielis, Johan and Gerats, Tom. A botanical perspective on modeling plants and plant shapes in computer graphics. 2004. 
  11. ^ Gielis, Johan. A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes. American journal of botany (Wiley Online Library). 2003, 90 (3): 333––338. doi:10.3732/ajb.90.3.333. 
  12. ^ 12.0 12.1 De Bruyn, Bart; 等. The glueing of near polygons. Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin (The Belgian Mathematic Society). 2002, 9 (4): 621––630. 
  13. ^ 13.0 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 The edgeless map. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. 
  14. ^ 1 symmetry. symmetrys database - symmetry details. [2021-08-11]. 
  15. ^ K1 Graph. Graphs database - graph details. [2021-08-11]. 
  16. ^ 16.0 16.1 G. S. Anagnostatos. On the Possible Stability of Tetraneutron and Hexaneutron. HNPS Proceedings. 2020-02-20, 13: 313 [2021-08-12]. ISSN 2654-0088. doi:10.12681/hnps.2981. 
  17. ^ 17.0 17.1 Gerassimos S. Anagnostatos. Quantum Isomorphic Shell Model: Multi-Harmonic Shell Clustering of Nuclei. Journal of Modern Physics. 2013, 04: 54–65.