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電位移

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電磁學裏,電位移是出現於馬克士威方程組的一種向量場,可以用來解釋電介質自由電荷所產生的效應。電位移以方程式定義為[1]

其中,電常數電場電極化強度

概述[编辑]

高斯定律表明,電場的散度等於總電荷密度除以電常數:

電極化強度的散度等於負束縛電荷密度

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度

所以,電位移的散度等於自由電荷密度

這與高斯定律的方程式類似。假設,只給定自由電荷密度,或許可以用高斯方法來計算電位移。但是,在這裏,不能使用這方法。只知道自由電荷密度,有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式:

假設電場為不含時電場,,則

假若,則雖然設定,電位移仍舊不等於零:

舉例而言,擁有固定電極化強度永電體,其內部不含有任何自由電荷,但是內在的電極化強度會產生電場。

只有當問題本身具有某種對稱性,像球對稱性圓柱對稱性等等,才能夠直接使用高斯方法,從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則,必需將電極化強度邊界條件納入考量。

線性電介質[编辑]

「線性電介質」,對於外電場的施加,會產生線性響應。例如,鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性,則其電場與電極化強度的關係式為[2]

其中,電極化率

將這關係式代入電位移的定義式,可以得到

其中,電容率

所以,電位移與電場成正比;其比率是電容率。另外,

假設這電介質具有均勻性,則電容率是常數:

定義相對電容率

相對電容率與電極化率有以下的關係:

各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如,晶體的電容率通常必需用張量來表示。

應用範例[编辑]

平行板電容器的兩片平板導體分別含有的正負自由電荷,會產生電位移。藉著一個扁長方形盒子,可以用高斯定律來解釋電位移與自由電荷的關係。

如右圖所示,平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷,含有的電荷量分別為。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度,則可以視這兩片平板導體為無限平面;做簡單計算時,不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性,可以應用高斯定律來計算電位移,其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體,而且垂直於平板導體;又由於平板導體含有的電荷是自由電荷,不需要知道電介質的性質,就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子,其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊,平行於平板導體;而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律,

其中,是扁長方形盒子的閉合表面,是帶正電平板導體所產生的電位移,是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與向量相垂直,它們對於積分的貢獻是零;只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻:

 ;

其中,是盒子頂面、底面的面積。

所以,向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出,大小為

類似地,可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移;向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體,大小為

應用疊加原理,可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間,的方向相同;應用疊加原理,電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度:。在兩片平板導體的共同上方或共同下方,的方向相反;應用疊加原理,電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為,則在兩片平板導體之間,電場的大小為

假設兩片平板導體的間隔距離為,則電壓

這平行板電容器的電容

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 175, 179–184, 1998, ISBN 0-13-805326-X 
  2. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 151–154, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1