電位移

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電磁學裏,電位移是出現於馬克士威方程組的一種向量場,可以用來解釋電介質自由電荷所產生的效應。電位移\mathbf{D}以方程式定義為[1]

\mathbf{D}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \epsilon_{0} \mathbf{E} + \mathbf{P}

其中,\epsilon_{0}電常數\mathbf{E}電場\mathbf{P}電極化強度

概述[编辑]

高斯定律表明,電場的散度等於總電荷密度\rho_{total}除以電常數:

\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho_{total}/\epsilon_0

電極化強度的散度等於負束縛電荷密度 - \rho_{bound}

\nabla\cdot\mathbf{P} = - \rho_{bound}

而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度\rho_{free}

\rho_{total} =\rho_{free}+\rho_{bound}

所以,電位移的散度等於自由電荷密度\rho_{free}

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{free}

眨眼望去,這貌似高斯定律的方程式。假設,只給定自由電荷密度\rho_{free},或許可以用高斯方法來計算電位移\mathbf{D}。但是,在這裏,不能使用這方法。只知道自由電荷密度\rho_{free},有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式:

\nabla \times \mathbf{D} = \varepsilon_{0}(\nabla \times \mathbf{E}) + (\nabla \times \mathbf{P})

假設電場為不含時電場,\nabla\times\mathbf{E}=0,則

\nabla \times \mathbf{D} = \nabla \times \mathbf{P}

假若\nabla \times \mathbf{P}\ne 0,則雖然設定\rho_{free}=0,電位移仍舊不等於零:\mathbf{D}\ne 0

舉例而言,擁有固定電極化強度\mathbf{P}永電體,其內部不含有任何自由電荷,但是內在的電極化強度\mathbf{P}會產生電場。假若,錯誤地認為自由電荷足以決定電位移,而立刻斷定電位移等於零,則會得到錯誤的結果:電場等於零。

只有當問題本身具有某種對稱性,像球對稱性圓柱對稱性等等,才能夠直接使用高斯方法,從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則,必需將電極化強度\mathbf{P}邊界條件納入考量。

線性電介質[编辑]

「線性電介質」,對於外電場的施加,會產生線性響應。例如,鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性,則其電場與電極化強度的關係式為[2]

\mathbf{P}=\chi_e \epsilon_{0} \mathbf{E}

其中,\chi_e電極化率

將這關係式代入電位移的定義式,可以得到

\mathbf{D}= (1+\chi_e) \epsilon_0\mathbf{E}=\epsilon\mathbf{E}

其中,\epsilon電容率

所以,電位移與電場成正比;其比率是電容率。另外,

\nabla\cdot(\epsilon\mathbf{E})=\rho_{free}

假設這電介質具有均勻性,則電容率\epsilon是常數:

\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{free}/\epsilon

定義相對電容率\epsilon_r

\epsilon_r\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \epsilon/\epsilon_0

相對電容率與電極化率有以下的關係:

\epsilon_r=1+\chi_e

各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如,晶體的電容率通常必需用張量來表示。

應用範例[编辑]

平行板電容器的兩片平板導體分別含有的正負自由電荷,會產生電位移。藉著一個扁長方形盒子,可以用高斯定律來解釋電位移與自由電荷的關係。

如右圖所示,平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷,含有的電荷量分別為-Q+Q。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度,則可以視這兩片平板導體為無限平面;做簡單計算時,不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性,可以應用高斯定律來計算電位移,其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體,而且垂直於平板導體;又由於平板導體含有的電荷是自由電荷,不需要知道電介質的性質,就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。

先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子,其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊,平行於平板導體;而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律,

\oint_{\mathbb{S}} \mathbf{D}_+ \cdot d\mathbf{a} = Q

其中,\mathbb{S}是扁長方形盒子的閉合表面,\mathbf{D}_+是帶正電平板導體所產生的電位移,d\mathbf{a}是微小面元素。

由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與\mathbf{D}_+向量相垂直,它們對於積分的貢獻是零;只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻:

2D_+ A= Q ;

其中,A是盒子頂面、底面的面積。

所以,\mathbf{D}_+向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出,大小為

D_+=Q/2A

類似地,可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移;\mathbf{D}_-向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體,大小為

D_- =Q/2A

應用疊加原理,可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間,\mathbf{D}_+\mathbf{D}_-的方向相同;應用疊加原理,電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度:D =Q/A。在兩片平板導體的共同上方或共同下方,\mathbf{D}_+\mathbf{D}_-的方向相反;應用疊加原理,電位移的大小等於零。

假設電介質的電容率為\epsilon,則在兩片平板導體之間,電場的大小為

E=D/\epsilon=Q/\epsilon A

假設兩片平板導體的間隔距離為d,則電壓V

V=Ed=Q d/\epsilon A

這平行板電容器的電容C

C=Q/V=\epsilon A/d

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall. 1998:  pp. 175, 179-184, ISBN 0-13-805326-X 
  2. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic. 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.. 1999:  pp. 151-154, ISBN 978-0-471-30932-1