霍曼轉移軌道

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霍曼轉移軌道為圖中編號2的半橢圓軌道

太空動力學霍曼轉移軌道(或譯為郝曼轉移軌道Hohmann transfer orbit)是一種變換太空船軌道的方法,途中只需兩次引擎推進,相對地節省燃料。此種軌道操縱名稱來自德國物理學家瓦爾特·霍曼,他於1925年出版了相關著作。

簡介[编辑]

右圖為將太空船從低軌道(1)送往較高軌道(3)的霍曼轉移軌道。太空船在原先軌道(1)上瞬間加速後,進入一個橢圓形的轉移軌道(2)。太空船由此橢圓軌道的近拱點開始,抵達遠拱點後再瞬間加速,進入另一個圓軌道(3),此即為目標軌道。要注意的是,三個軌道的軌道半長軸是越來越大,因此兩次引擎推進皆是加速,總能量增加而進入較高(半長軸較大)的軌道。

反過來,霍曼轉移軌道亦可將太空船送往較低的軌道,不過是兩次減速而非加速。

霍曼轉移軌道的兩次加速假設是瞬間完成,但實際上加速要花時間,因此需要額外的燃料來補償。使用高推力引擎所需額外燃料較小,低推力引擎則還要以控制推進時間、逐漸提高軌道來逼近霍曼轉移軌道。因此實際上ΔV會比假設情況更大且花更多時間。

計算[编辑]

軌道上物體的總能等於動能重力位能的和,而總能又等於重力位能(軌道半徑為軌道半長軸 a 時的重力位能)的一半:

E=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m v^2 - \frac{GM m}{r} = \frac{-G M m}{2 a}

以速度為未知解方程式,得到軌道能量守衡方程式

 v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)
其中

因此霍曼轉移所需的兩次ΔV為(假設速度改變是瞬間達成):

\Delta v 
= \sqrt{\frac{\mu}{r_1}}
  \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right)
\Delta v^\prime 
= \sqrt{\frac{\mu}{r_2}}
  \left( 1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\,\! \right)

r_1r_2 分別是原本圓軌道與目標圓軌道的半徑,其中大的(小的)對應到霍曼轉移軌道的遠拱點(近拱點)距離。

無論前往較高或較低軌道,根據克卜勒第三定律,霍曼轉移所花的時間為:

 t_H 
= \begin{matrix}\frac12\end{matrix} \sqrt{\frac{4\pi^2 a^3_H}{\mu}}
= \pi \sqrt{\frac {(r_1 + r_2)^3}{8\mu}}

(即橢圓軌道週期的一半),其中 a_H\,\!是霍曼轉移軌道的半長軸。

舉例[编辑]

應用於行星際旅行[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Walter Hohmann. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper. Verlag Oldenbourg in München. 1925. ISBN 3-486-23106-5. 
  • Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. 2003. ISBN 0-534-40896-6. 
  • Bate, R.R., Mueller, D.D., White, J.E.,. Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, New York. 1971. ISBN 978-0486600611. 
  • Vallado, D. A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 2nd Edition. Springer. 2001. ISBN 978-0792369035. 
  • Battin, R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. American Institute of Aeronautics & Ast, Washington, DC. 1999. ISBN 978-1563473425. 

參見[编辑]

外部連結[编辑]