靜不定

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靜力學裏,當靜力平衡方程式,不能夠決定作用在一個結構上的反應力,則稱此結構為靜不定的;稱整個系統為靜不定系統;無法求得的反應力為靜不定;而求得的反應力則為靜定。在這裏,反應力是指一個支撐或連結,對於作用在此結構的力,反應而產生的力;這力也是作用於此結構上的。根據牛頓運動定律,在一個二維空間問題中,靜力平衡方程式

  •  \sum \vec{F} = 0\,\! :作用在物體上的力的向量總和等於零;也就是說
 \sum F_x = 0\,\! :作用力之水平分量的總和等於零,
 \sum F_y = 0\,\! :作用力之垂直分量的總和等於零,
  •  \sum \vec M = 0\,\! :對任意一點的力矩總和等於零。
圖 1 ,一個靜不定的自由體受力圖

舉例而言,如圖右,作用在樑上的力 \vec{F}\,\! ,造成了四隻反應力為 V_A,\ V_B,\ V_C,\ H_A\,\! 。靜力平衡方程式為

 \sum  F_x  = 0
H_A-F_H=0\,\!
\sum F_y=0\,\!
V_A-F_V+V_B+V_C=0\,\!
 \sum \vec M = 0 \,\!
F_V \cdot a-V_B\cdot (a+b)-V_C\cdot (a+b+c)=0\,\!

這問題有四隻力是未知數(變數) (V_A,\ V_B,\ V_C,\ H_A\,\!) 。但是,只有三個靜力平衡方程式。因此,這聯立方程式無解。這結構是靜不定的。我們必須加入物體材料形變的考量,才能解答這問題。

靜定系統[编辑]

如果,除去這樑在 B 點的支撐 ,就沒有 V_B\,\! 反應力,整個系統成為靜定的。則解答為

H_A=F_H\,\!
V_C=\frac{F_v \cdot a}{a+b+c}\,\!
V_A=F_v-V_C\,\!

如果,我們將 A 點的支撐改為滾子。那麼,只剩下三隻反應力作用在這樑上(沒有 H_A\,\! )。但是,這樑現在可以作水平移動;這系統變為偏約束的。進一步研究,這問題有兩個未知數,V_A\,\!V_C\,\!。我們可以用 \sum F_y=0\,\! \sum \vec M = 0\, 這兩個方程式來求解答。得到的答案與前面相同。可是,除非 F_H=0\,\! ,方程式 \sum F_x=0\,\! 無法被滿足。

靜不定度[编辑]

圖 2 ,這靜不定系統的反應力是靜定的。
圖 3 ,這靜定系統的反應力是靜不定的。

參見圖 2 ,雖然,所有的反應力都是靜定的,一個系統仍舊可以是靜不定的;反方面說,如右圖 3 ,雖然,一個系統有靜不定的反應力,它仍舊是靜定的。因此,一個系統的靜定靜不定狀況,必須依靠其內部結構與外部支撐來決定。

一個系統的靜不定度M-N\,\!。這裏,

  • M\,\! 是尚未決定的反應力的數量。
  • N\,\! 是獨立方程式的數量。

參閱[编辑]