靜磁學

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靜磁學Magnetostatics)是電磁學的分支,專門研究靜態磁場。在靜電學中,電荷是穩定不變的;在這裡,電流是穩定不變的。事實上即使電流不是靜態,只要電流不快速改變,靜磁學是一個良好的近似。

應用[编辑]

靜磁學作為馬克士威方程組的特例[编辑]

起自馬克士威方程組,並做如下簡化:

  • 忽略任何靜電荷。
  • 忽略任何電場項目。
  • 假設磁場不隨時間有所變動。

靜磁學方程式,以微分形式與積分形式,分別展示於以下表格]][1]

名稱 偏微分形式 積分形式
高斯磁定律 \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_{\mathbb{S}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}= 0
安培定律 \mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f \oint_\mathbb{C} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = I_f

其中,\mathbf{D}電位移\mathbf{B}磁感應強度\mathbf{E} 是電場,\mathbf{H}磁場強度\mathbf{J}_f自由電流密度\mathbb{S} 是面積分的運算曲面,\mathbb{C} 是路徑積分的閉合路徑,\mathrm{d}\mathbf{a} 是微小面元素向量,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} 是微小線元素向量,I_f 是穿過閉合路徑 \mathbb{C} 所包圍的曲面的自由電流

從比較上述方程式與全版馬克士威方程組,注意到刪除的項目的重要性,可以估算靜磁近似方法的品質和誤差。特別重要的是比較馬克士威-安培方程式的自由電流密度項目 \mathbf{J}_f位移電流密度項目\mathbf{J}_D=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} 。假若 \mathbf{J}_f 超大於位移電流密度 \mathbf{J}_D ,則可以忽略位移電流密度,而不會損失準確度

解析靜磁學問題[编辑]

假設已知系統內所有的電流,那麼,應用必歐-沙伐定律,可以得到磁場:

 \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I }{4\pi}  \int d\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

其中,\mathbf{r} 是檢驗位置,\mathbf{r}' 是源頭位置,\mu_0磁常數I 是源頭電流,d\boldsymbol{\ell}' 源頭電流的微小路徑元素。

必歐-沙伐方程式適用於當介質是真空空氣相對磁導率為1的類似物質。這包括了空心感應器空心變壓器。使用這方程式,對於一個較複雜的線圈幾何,可以分成幾個部分積分,或者,對於很困難的幾何形狀,可以使用數值積分。由於這方程式主要是用來解析線性問題,完整結果會是每一個部分的積分的總和。

假若磁心magnetic core)是一種高磁導率的磁性物質,而且空氣間隙很小,則採用磁路方法比較有用。假若,與磁路相比,空氣間隙很大,則邊緣磁場的貢獻會變得很重要。對於這類案例,通常必須使用有限元方法

磁性物質[编辑]

對於鐵磁性亞鐵磁性順磁性物質,它們的磁化强度主要是由電子自旋貢獻出的。這些物質的磁場關係式必需顯性地將磁化強度 \mathbf{M} 納入考量:

 \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{M}+\mathbf{H})

假設電流為零,則安培定律變為

 \nabla\times\mathbf{H} = 0

這方程式的一般解為

 \mathbf{H} = -\nabla \Phi_H

其中,\Phi_H磁標勢

將這解答式代入高斯磁定律,則可得到

 \nabla^2 \Phi_H = \nabla\cdot\mathbf{M}

所以,磁化強度的散度 \nabla\cdot\mathbf{M} 扮演的角色類似於靜電學裏的電荷[2]

注意到在這裏,靜磁狀態是一種誤稱,因為靜磁方程式可以應用於快速的磁矩翻轉magnetization reversal)事件,即磁化強度會在奈秒內自我快速翻轉方向的事件。

註釋[编辑]

參考文獻[编辑]