非构造性证明

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非构造性证明是「表述存在性的命题定理」的一种证明方式:证明的过程中,不举例而只证明语句是否正确。非构造性证明很多时候依赖于排中律数学结构主义数学不允许非构造性证明。

例一[编辑]

A、B两人进行这样一个数学游戏:在黑板上轮流写下1到2000中的任意一个整数(含边界,A先写),但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。问:谁有必胜策略?

证明[编辑]

考虑一种新的游戏:A'、B'在黑板上轮流写下2到2000中的任意一个整数(含边界,A'先写),但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。在这个游戏中谁有必胜策略?

如果A'有必胜策略,那么A在原游戏中也采用这个策略。注意,1在以后的过程中再也不能写上了(因为它是任何数的因子)。由于在新游戏中A'有必胜策略,所以在原游戏中,A有必胜策略。

如果B'有必胜策略,那么A在原游戏中先写上1。这就相当于构建了上述新游戏,B是新游戏中的A',A是新游戏中的B'。由于在新游戏中B'有必胜策略,所以在原游戏中,A有必胜策略。

综上所述,A有必胜策略。

上述证明过程中并没有找出具体的必胜策略,但是仍然证明了A有必胜策略。

例二[编辑]

比如要证明一个简单的命题:

超越数存在。

证明[编辑]

因为全体实数不可数,而全体代数数可数,所以超越数作为全体代数数的补集肯定非空。证毕。

证明过程并没有找出任何一个超越数,但是依然证明了上述命题的正确性。

相關條目[编辑]