威布尔分布 (Weibull distribution)是可靠性分析 和寿命检验 的理论基础。
例如,可以使用此分布回答以下问题:
预计将在老化期间失效的项目所占的百分比是多少?例如,预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比?
预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔?例如,在该轮胎的 50,000 英里有效寿命期间预计有多少次保修索赔?
预计何时会出现快速磨损?例如,应将维护定期安排在何时以防止发动机进入磨损阶段?
历史(History) [ 编辑 ]
1. 1927年,Fréchet (1927)首先给出这一分布的定义。
2. 1933年,Rosin 和Rammler 在研究碎末的分布时,第一次应用了威布尔分布(Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.)。
3. 1951年,瑞典工程师、数学家Waloddi Weibull (1887-1979)详细解释了这一分布,于是,该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution。
从概率论 和统计学 角度看,Weibull Distribution是连续性的概率分布,其概率密度为:
f
(
x
;
λ
,
k
)
=
{
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
/
λ
)
k
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
其中,x是随机变量,λ>0是比例参数(scale parameter),k>0是形状参数(shape parameter)。显然,它的累积分布函数是扩展的指数分布函数,而且,Weibull distribution与很多分布都有关系。如,当k=1,它是指数分布;k=2时,是Rayleigh distribution(瑞利分布 )。
性质(Properties) [ 编辑 ]
均值(mean) [ 编辑 ]
E
=
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle E=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}
其中,Г是伽马(gamma)函数。
方差(variance) [ 编辑 ]
V
a
r
=
λ
2
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
(
1
+
1
k
)
2
]
,
{\displaystyle Var=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right],}
矩函数(moment generating function) [ 编辑 ]
偏度(skewness) [ 编辑 ]
s
k
e
w
n
e
s
s
=
2
Γ
(
1
+
1
k
)
3
−
3
Γ
(
1
+
2
k
)
Γ
(
1
+
1
k
)
+
Γ
(
1
+
3
k
)
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
(
1
+
1
k
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle skewness={\frac {2\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{3}-3\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}
峰度(kurtosis) [ 编辑 ]
k
u
r
t
o
s
i
s
=
−
3
Γ
(
1
+
1
k
)
4
+
6
Γ
(
1
+
2
k
)
Γ
(
1
+
1
k
)
2
−
4
Γ
(
1
+
3
k
)
Γ
(
1
+
1
k
)
+
Γ
(
1
+
4
k
)
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
Γ
(
1
+
1
k
)
2
]
2
{\displaystyle kurtosis={\frac {-3\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{4}+6\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}-4\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{2}}}}
生存分析 [ 编辑 ]
工业制造 [ 编辑 ]
研究生产过程和运输时间关系
极值理论 [ 编辑 ]
预测天气 [ 编辑 ]
可靠性和失效分析 [ 编辑 ]
雷达系统 [ 编辑 ]
对接受到的杂波信号的依分布建模
拟合度 [ 编辑 ]
无线通信技术中,相对指数衰减频道模型,Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度
量化寿险模型的重复索赔 [ 编辑 ]
预测技术变革 [ 编辑 ]
由于曲线形状与现实状况很匹配,被用来描述风速的分布
有限支集 离散单变量 无限支集 离散单变量 紧支集 连续单变量 半无限区间支集 连续单变量 无限区间支集 连续单变量 可变类型支集 连续单变量 混合连续离散单变量 多元(联合) 定向 退化 和奇异 族