韦伯分布

韦伯分布

概率密度函數
累積分佈函數
參數	$\lambda >0\,$$\lambda >0\,$尺度参数（实数） $k>0\,$$k>0\,$形状参数（实数）
支撑集	$x\in [0;+\infty )\,$$x\in [0;+\infty )\,$
概率密度函数	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{{k-1}}e^{{-(x/\lambda )^{{k}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
累積分佈函數	$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$$1-e^{{-(x/\lambda )^{k}}}$
期望值	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$
中位數	$\lambda (\ln(2))^{1/k}\,$$\lambda (\ln(2))^{{1/k}}\,$
眾數	$\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$$\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{{{\frac {1}{k}}}}\,$ if $k>1$$k>1$
方差	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$
偏度	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
峰度	见内文
信息熵	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$
動差生成函數	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right),\ k\geq 1$$\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right),\ k\geq 1$
特性函数	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$$\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

韦伯分布（Weibull distribution），又称韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。

历史（History）

1. 1927年，Fréchet (1927)首先给出这一分布的定义。

2. 1933年，Rosin和Rammler在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布（Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.）。

3. 1951年，瑞典工程师、数学家Waloddi Weibull（1887-1979）详细解释了这一分布，于是，该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution。

定义

从概率论和统计学角度看，Weibull Distribution是连续性的概率分布，其概率密度为：

$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{{k-1}}e^{{-(x/\lambda )^{{k}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

其中，x是随机变量，λ＞0是比例参数（scale parameter），k＞0是形状参数（shape parameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。如，当k=1，它是指数分布；k=2时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

性质（Properties）

均值（mean）

$E=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$$E=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$ 其中，Г是伽马（gamma）函数。

方差（variance）

$Var=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right],$$Var=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right],$

偏度（skewness）

$skewness={\frac {2\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{3}-3\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}$$skewness={\frac {2\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{3}-3\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{{3/2}}}}$

峰度（kurtosis）

$kurtosis={\frac {-3\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{4}+6\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}-4\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{2}}}$$kurtosis={\frac {-3\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{4}+6\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}-4\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{2}}}$

应用

工业制造

研究生产过程和运输时间关系

雷达系统

对接受到的杂波信号的依分布建模

拟合度

无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度

风速

由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布