韦伯分布

韦伯分布

概率密度函數
累積分佈函數
參數	$\lambda>0\,$尺度参数（实数） $k>0\,$形状参数（实数）
支撑集	$x \in [0; +\infty)\,$
概率密度函数	$f(x)=\begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\ 0 & x<0\end{cases}$
累積分佈函數	$1- e^{-(x/\lambda)^k}$
期望值	$\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$
中位數	$\lambda(\ln(2))^{1/k}\,$
眾數	$\lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\,$ if $k>1$
方差	$\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,$
偏度	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$
峰度	见内文
信息熵	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1$
動差生成函數	$\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right), \ k\geq1$
特性函数	$\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)$

韦伯分布（Weibull distribution），又称韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。

历史（History）

1. 1927年，Fréchet (1927)首先给出这一分布的定义。

2. 1933年，Rosin和Rammler在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布（Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.）。

3. 1951年，瑞典工程师、数学家Waloddi Weibull（1887-1979）详细解释了这一分布，于是，该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution。

定义

从概率论和统计学角度看，Weibull Distribution是连续性的概率分布，其概率密度为：

$f(x;\lambda,k) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\ 0 & x<0\end{cases}$

其中，x是随机变量，λ＞0是比例参数（scale parameter），k＞0是形状参数（shape parameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。如，当k=1，它是指数分布；k=2时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

性质（Properties）

均值（mean）

$E=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$ 其中，Г是伽马（gamma）函数。

方差（variance）

$Var=\lambda ^2 \left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right],$

偏度（skewness）

$skewness=\frac{2 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^3-3 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^{3/2}}$

峰度（kurtosis）

$kurtosis=\frac{-3 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^4+6 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2-4 \Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{4}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^2}$

应用

工业制造

研究生产过程和运输时间关系

雷达系统

对接受到的杂波信号的依分布建模

拟合度

无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度

风速

由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布