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韦达定理

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在數學上,韦达定理是一個公式,給出多項式方程係數的关系,又被稱為根與係數。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現,並因此得名。韋達定理常用於代數領域。

韋達定理的實用之處在於,它提供一個不用直接把根解出來的方法來計算根之間的關係。

敘述[编辑]

是一个一元 n 次(或)係數多項式,首項系數 ,令 P 的 n 個根為 ,则根 和係數 之間滿足關係式

等價的說,對任何 k = 1, 2, ..., n,係數比 是所有任取 k 個根的乘積的和的 倍,即

其中 是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。

事實上,等號的左邊被稱作是初等對稱多項式

证明[编辑]

因為 是一元 n 次多項式 的 n 个根。於是有

根據乘法原理展開右式,比較等號兩邊的各項係數可得

上式等同於韋達定理的敘述。

特例[编辑]

n=2[编辑]

是一元二次多項式 的两根,則由

這個特殊情況除之前提到的证明方法,也可以直接用解公式即 證明:

在這個情況下,韦达定理的逆定理同样成立:給定一個一元二次多項式 ,如果有两个数 ,滿足 ,則 就是多項式 的兩根。

n=3[编辑]

是一元三次多項式 的三根,則

推廣至環[编辑]

韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式,換言之多項式係數都落在 R 上。此時,分數 在 R 中不見得有定義,除非 本身是可逆元。但 在 R 的分式環 K 中有定義,而根 則在 K 的代數閉包 中有定義。特別的,如果 R 是整數環 ,則 K 是有理數體 複數體

如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上,則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一, 可能不是零因子,因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 。第一點算是顯而易見,以下給出一個第二點的例子。在環 中,多項式 有四個根 1、3、5、7,根數比多項式的次數還多。此外,如果隨便取兩根出來,例如 ,會發現 ,但是有時候如果根取的剛好,卻又可能會有

歷史[编辑]

在 16 世紀,韋達發現了所有根都是正整數的版本,至於一般的版本 (根是實數),可能首次由法國數學家 Albert Girard英语Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家查爾斯·赫頓英语Charles Hutton的話寫道[1]

...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。

參考資料[编辑]

  • Djukić, Dušan; 等, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6 

参见[编辑]