在數學上，韦达定理 是一個公式 (英語：Vieta's formulas 多項式方程 的根 與係數 的关系，因而又被代稱為根與係數 。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達 發現，並因此得名。韋達定理常用於代數 領域。
韋達定理的實用之處在於，它提供一個不用直接把根解出來的方法來計算根之間的關係。
设
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
實 (或複 )係數多項式，首項系數
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
{
x
i
}
{\displaystyle \{x_{i}\}}
{
a
j
}
{\displaystyle \{a_{j}\}}
{
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
⋮
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}
等價的說，對任何 k = 1, 2, ..., n，係數比
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
(
−
1
)
k
{\displaystyle (-1)^{k}}
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
k
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
其中
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
{\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}
事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式 。
因為
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
M
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
a
n
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
⋯
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}
根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得
{
a
n
−
1
=
−
a
n
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
)
a
n
−
2
=
a
n
(
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
)
⋮
a
0
=
(
−
1
)
n
a
n
x
1
x
2
…
x
n
{\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}}
上式等同於韋達定理的敘述。
n=2 [ 编辑 ] 设
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
=
a
x
2
−
a
(
x
1
+
x
2
)
x
+
a
x
1
x
2
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用解公式即
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
+
(
−
b
)
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
x
2
=
(
−
b
+
b
2
−
4
a
c
)
(
−
b
−
b
2
−
4
a
c
)
(
2
a
)
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}}
在這個情況下，韦达定理的逆定理 同样成立：給定一個一元二次多項式
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle \,x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \,ax^{2}+bx+c\,}
n=3 [ 编辑 ] 设
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
a
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
a
,
x
1
x
2
x
3
=
−
d
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}
推廣至環 [ 编辑 ] 韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數
a
i
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
可逆元 。但
a
i
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}}
分式環 K 中有定義，而根
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
整數環
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
有理數體
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
複數體
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環 上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一，
a
n
{\displaystyle a_{n}}
零因子 ，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於
a
n
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
⋯
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}
Z
/
8
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }
P
(
x
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle P(x)=x^{2}-1}
x
1
=
1
{\displaystyle x_{1}=1}
x
2
=
3
{\displaystyle x_{2}=3}
P
(
x
)
≠
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
{\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}
P
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
7
)
{\displaystyle P(x)=(x-1)(x-7)}
P
(
x
)
=
(
x
−
3
)
(
x
−
5
)
{\displaystyle P(x)=(x-3)(x-5)}
在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 Albert Girard 查爾斯·赫頓 [1]
...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。
參考資料 [ 编辑 ] Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Funkhouser, H. Gray , A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273 doi:10.2307/2299273 Vinberg, E. B. , A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4 Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6 
