韦达定理

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

韦达定理給出多項式方程的根与系数的关系,所以又简称根系关系。定理陳述如下:

是一个次方程,则有

一元二次方程的特例中,两個根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数;两個根的乘积等于方程的常数项除以二次项系数。

是一元二次方程的两根,那么

韦达定理的逆定理同样成立。仍然以一元二次方程為例:給定一個一元二次方程。如果有两个数,它們的和等于該方程的一次项系数除以二次项系数的相反数,它們的积又等于該方程的常数项除以二次项系数,那么它們就是該方程的兩根。

设关于一元二次方程,且
必定是一元二次方程的两个根。

定理特例的证明[编辑]

一元二次方程 (a≠0)的两个解,且不妨令

证明一:根据求根公式,有

所以


证明二:方程两边同时除以a,有

.........(1)

,

展开得.........(2)

∴对照式子(1)与(2),得

定理的证明[编辑]

一元n次方程的n个解。

則有

乘法原理:

移項化簡后得:

参看[编辑]