預可加範疇

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範疇論中,一個預可加範疇是使得任兩個對象間的態射集帶有交換群結構,並使得態射合成為雙線性運算之範疇。

形式地說,預可加範疇是在交換群的么半範疇濃化的範疇。預加法範疇有時亦稱Ab-範疇,其中的Ab是交換群範疇的縮寫。舊文獻有時也將預加法範疇稱為加法範疇;在此則採當代觀點,區別預加法範疇與可加範疇

一般而言,固定一個交換環,我們可以定義-預可加範疇為在-模的么半範疇上濃化的範疇,即:使任兩個對象間的態射集-模,並使態射合成為上的雙線性運算之範疇。取則回到原始定義。

例子[编辑]

預可加範疇最直接的例子是交換群範疇Ab;交換性在此不可或缺,它保證兩個同態的和仍是同態。

其它常見例子包括:

以上兩例實則皆是可加範疇

  • 任何環皆可視為只有一個對象的範疇,態射對應於環的元素,並透過環的乘法運算合成;這是個預可加範疇,其同態集是該環對加法的交換群。

基本性質[编辑]

由於每個同態集都是交換群,其中遂有零元素,這是零態射。由於態射合成是雙線性的,零態射在任一側同任一態射的合成必為零態射;如果我們將合成類比於乘法,則上述性質可類比於;合成的雙線性也可以依此設想為乘法分配律

,則同態集對加法與合成構成一個,稱為自同態環。反之,藉由將環看成只有一個對象的預加法範疇,任何環都可以表成某個預加法範疇的自同態環。範疇論學者慣於將與對應的單對象範疇等量齊觀,一個愛作怪的範疇論學者大可以將環定義為只有一個元素的預可加範疇。

依此觀點,預可加範疇可視作的推廣(「範疇化」技術)。許多環論概念,如理想Jacobson根商環等等,皆可推廣至此框架。

加法函子[编辑]

為預加法範疇,若一個函子使為群同態,則稱之為加法函子。形式地說,加法函子是濃化範疇之間的濃化函子。

例如,設分別為派生的單對象預加法範疇,則的加法函子對應於的環同態。

為範疇,且為預加法範疇,則函子範疇也構成預可加範疇,原因在於自然變換能自然地相加。若也是預加法範疇,則其間的加法函子範疇也是預可加範疇。

後者導向的推廣:設為預可加範疇,則稱為上的(廣義)模範疇。一般意義下的左模對應於只有一個對象的情形。一如環的情形,模論的許多概念皆可推廣到此框架下。

雙積[编辑]

可以證明:預可加範疇中的有限若存在,則零態射與導出的態射使成為雙積,對內射則成為上積;相對地,有限上積也帶有自然的雙積結構。對任何對象都存在雙積的預可加範疇稱為可加範疇

核與上核[编辑]

由於預可加範疇中有零態射,我們可以定義一個態射的核與上核為:

其中的分別為一對態射的等化子上等化子。利用態射集上的群結構與合成的雙線性,等化子與上等化子也能夠用核與上核刻劃:

對於交換群或模的範疇,核與上核分別對應於抽象代數的定義,但是在一般的預可加範疇中,態射不一定有核與上核。對所有態射都有核與上核的範疇稱為預阿貝爾範疇

文獻[编辑]

  • Nicolae Popescu; 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc.