马尤厄-嘉当形式

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数学上,一个李群GMaurer-Cartan形式是一个特别的微分形式,它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用,作为他的移动标架法的基本组成。

g=T_eG是李群在幺元的切空间(它的李代数)。G可以由左平移作用在自身

L_h:G\ni k\mapsto hk\in G,

这个诱导出切丛到自身的一个映射

(L_h)_*:T_kG\rightarrow T_{hk}G.

一个左移不变向量场TG的一个截面,使得

(L_h)_*X=X h\in G

Maurer-Cartan形式 \omega 是在g值(在g中取值)的G上的1形式,根据公式\omega(v)=(L_{h^{-1}})_*v\in g作用在向量v\in T_h G 上。 若X是G上的左移不变向量场,则\omega(X)在G为常数。而且,若X和Y都是左移不变,则

\omega([X,Y])=[\omega(X),\omega(Y)]

其中左边的括号为向量场的李括号,而右边的括号为李代数g的李括号。(这可以作为g上的李括号的定义。)这些事实可以用来建立李代数的同构

g=T_eG\cong \{ G上的左移不变向量场  \}.

根据微分的定义,若X和Y为任意向量场,则

 d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y]).

实用上,若X和Y为左移不变,则

X(\omega(Y))=Y(\omega(X))=0,

所以

d\omega(X,Y)+[\omega(X),\omega(Y)]=0

但是左边只是一个2-形式(其值只和X,Y在一点的取值有关,所以跟X,Y作为场在周围的变化无关),所以方程不依赖于X和Y是左移不变的条件。所以这个方程对所有向量场X和Y成立。这被称为Maurer-Cartan方程.

如果G嵌入到GL(n,R),则可以把\omega 的公式显式的写成

 \omega = g^{-1} dg

若我们在李群G上引入主丛,并把G上的左作用定义为变换函数,则联络形式 A =\omega 平坦的。实际上

 F=dA + A \wedge A = 0

和Maurer-Cartan方程完全一致。