马尤厄-嘉当形式

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数学上,一个李群GMaurer-Cartan形式是一个特别的微分形式,它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用,作为他的移动标架法的基本组成。

是李群在幺元的切空间(它的李代数)。G可以由左平移作用在自身

,

这个诱导出切丛到自身的一个映射

.

一个左移不变向量场的一个截面,使得

Maurer-Cartan形式 是在g值(在g中取值)的G上的1形式,根据公式作用在向量上。 若X是G上的左移不变向量场,则在G为常数。而且,若X和Y都是左移不变,则

其中左边的括号为向量场的李括号,而右边的括号为李代数g的李括号。(这可以作为g上的李括号的定义。)这些事实可以用来建立李代数的同构

G上的左移不变向量场 .

根据微分的定义,若X和Y为任意向量场,则

.

实用上,若X和Y为左移不变,则

,

所以

但是左边只是一个2-形式(其值只和X,Y在一点的取值有关,所以跟X,Y作为场在周围的变化无关),所以方程不依赖于X和Y是左移不变的条件。所以这个方程对所有向量场X和Y成立。这被称为Maurer-Cartan方程.

如果G嵌入到GL(n,R),则可以把的公式显式的写成

若我们在李群G上引入主丛,并把G上的左作用定义为变换函数,则联络形式平坦的。实际上

和Maurer-Cartan方程完全一致。