高德納箭號表示法

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高德納箭號表示法是種用來表示很大的整數的方法,由高德納於1976年設計。它的意念來自是重複的乘法,乘法是重複的加法

簡介[编辑]

乘法是重複的加法a \times b = a+a+...+a (有ba

是重複的乘法:a^b = a \uparrow b = a \times a \times ...  \times a(有ba

於是高德納定義「雙箭號」運算符,作重複的冪運算,或稱迭代冪次a \uparrow\uparrow b=

\begin{matrix} \underbrace{ a \uparrow a \uparrow ... \uparrow a } \\ b\end{matrix}

= a^{a^{a^{...}}} (写下去一直写出b个a,中文读法b个a重幂)

計算時是由右至左計的。

3\uparrow\uparrow2=3^3=27\,\!
3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987
3\uparrow\uparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}

多於兩個箭號時,

3\uparrow\uparrow\uparrow 2=3 \uparrow\uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987\,\!

3\uparrow\uparrow\uparrow 3= 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow (3^{3^3}) = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 = 3 \uparrow 3 \uparrow ... \uparrow 3(写出来有3^{3^3}个3)

一般化[编辑]

若果要用多個箭號時,可用↑n表示,但有些數還是大得連這種表示法也不夠用,例如葛立恆數

這時可能用hyper運算符康威鏈式箭號表示法方便一點。


  \begin{matrix}
   a\uparrow^n b & = & \mbox{hyper}(a,n+2,b) & = & a\to b\to n \\
   \mbox{(Knuth)} & & & & \mbox{(Conway)}
  \end{matrix}

定義[编辑]

對於整數a、非負整數b和正整數n


  a\uparrow^n b=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1, \\
    a^b, \\
    a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^n(b-1)),
   \end{matrix}
  \right.
b=0
n=1
其他。

這個表示法符合向右結合律

參考[编辑]