高德納箭號表示法

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高德納箭號表示法是種用來表示很大的整數的方法,由高德納於1976年設計。它的概念來自是重複的乘法,乘法是重複的加法

簡介[编辑]

乘法是重複的加法a \times b = a+a+...+a (有ba

是重複的乘法:a^b = a \uparrow b = a \times a \times ...  \times a(有ba

於是高德納定義「雙箭號」運算符,作重複的冪運算,或稱迭代冪次a \uparrow\uparrow b=

\begin{matrix} \underbrace{ a \uparrow a \uparrow ... \uparrow a } \\ b\end{matrix}

= \begin{matrix} \underbrace{ a^{a^{a^{...}}} } \\ b\end{matrix} = {^{b}a}(中文读法為「b个a重幂」)

計算時是由右至左計的。

3 \uparrow \uparrow 2 = {^{2}3} = 3^3 = 27
3 \uparrow \uparrow 3 = {^{3}3} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987
3 \uparrow \uparrow 4 = {^{4}3} = 3^{3^{3^3}} = 3^{7625597484987} \approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}
3 \uparrow \uparrow 5 = {^{5}3} = 3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7625597484987}} \approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}

多於兩個箭號時,

3 \uparrow\uparrow \uparrow 2 = 3 \uparrow\uparrow 3 = {^{3}3} = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987\,\!

3 \uparrow\uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = {^{^{3}3}3} = {^{7625597484987}3} =  \begin{matrix} \underbrace{ 3^{3^{3^{...}}} } \\ 7625597484987\end{matrix}

使用指數來解釋高德納箭號表示法[编辑]

a \uparrow \uparrow b代表重複的冪,或迭代冪次,例如: a \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow (a \uparrow (a \uparrow a)) = a^{a^{a^a}}

當b為變量或過大時,重複的冪可以如下表示:

a \uparrow \uparrow b = \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{b}

指數不只能解釋兩個箭號的運算,三個箭號也行。

a \uparrow \uparrow \uparrow 2 = a \uparrow \uparrow a = 
  \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a}
a \uparrow \uparrow \uparrow 3 = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a) = 
  \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a} }
a \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a)) = 
  \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{a} }}

再次的,當b為變量或過大時,三個箭號的運算可以如下表示:

a \uparrow \uparrow \uparrow b = 
  \left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\} b

四個箭號可以如下表示:

a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2 = a \uparrow \uparrow \uparrow a = 
  \left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     a
a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 = a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow a) = 
  \left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     a
a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4 = a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow \uparrow a)) = 
  \left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                     a

再次的一般化:

a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b = 
  \underbrace{
    \left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                       \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
                       \cdots \right\}
                       a
  }_{b}

這種方法可以用來表示任何能夠用高德納箭號表示法表示的數,但是會變得相當麻煩。

一般化[编辑]

若要用多個箭號時,可用↑n表示,但有些數還是大得連這種表示法也不夠用,例如葛立恆數

這時可能用hyper運算符康威鏈式箭號表示法方便一點。


  \begin{matrix}
   a\uparrow^n b & = & \mbox{hyper}(a,n+2,b) & = & a\to b\to n \\
   \mbox{(Knuth)} & & & & \mbox{(Conway)}
  \end{matrix}

定義[编辑]

對於整數a、非負整數b和正整數n


  a\uparrow^n b=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1, \\
    a^b, \\
    a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^n(b-1)),
   \end{matrix}
  \right.
b=0
n=1
其他。

這個表示法符合向右結合律

參考[编辑]