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高斯散度定理

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散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量,例如,任何左邊的曲面;散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面,例如,任何右邊的曲面。在這圖內,曲面以藍色顯示,邊界以紅色顯示。

高斯公式,又称为散度定理高斯散度定理高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出這区域的淨流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学流体力学

在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。然而,它可以推广到任意维数。在一维,它等价于微积分基本定理;在二维,它等价于格林公式

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

定理[编辑]

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有[1]

\oiint

\oiint

这里Σ是Ω的边界(boundary),cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的單位法向量的方向余弦

这两个公式都叫做高斯公式,不過這兩公式僅僅是表達方式不同,其實是相同的定理,這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ,其中 是曲面 的向外單位法向量。

用散度表示[编辑]

高斯公式用散度表示为:[2]

\oiint

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面,而 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示[编辑]

V代表有一间单闭曲面S为边界的体积,是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果是外法向向量面元,则

推论[编辑]

  • 对于标量函数g和向量场F的积,应用高斯公式可得:
  • 对于两个向量场的向量积,应用高斯公式可得:
  • 对于标量函数f和非零常向量的积,应用高斯公式可得:
  • 对于向量场F和非零常向量的向量积,应用高斯公式可得:

例子[编辑]

例子所对应的向量场。注意,向量可能指向球面的内侧或者外侧。

假设我们想要计算

\oiint

其中S是一个单位球面,定义为

F向量场

直接计算这个积分是相当困难的,但我们可以用高斯公式来把它简化:

其中W是单位球:

由于函数yz奇函数,我们有:

因此:

\oiint

因为单位球W体积4π/3.

二阶张量的高斯公式[编辑]

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整,首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量(详见并矢张量张量积)以及相关的概念和记号。在这里,向量和向量场用黑斜体字母表示,张量用正黑体字母表示。

  1. 两个向量并排放在一起所形成的量被称为向量并矢并矢张量。要注意,一般来说,
  2. 的充分必要条件是
  3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
  4. 分别线性地依赖于
  5. 二阶张量和向量的缩并以及都是线性的。
  6. 特别是,当时,

所以,一般说来,

下面举一个例子:用二阶张量及其与向量的缩并来重新写

我们还用到二阶张量转置(又可以记为),定义如下:

  1. 仍然是一个二阶张量,并且线性地依赖于

定理:是三维欧几里得空间中的一个有限区域是它的边界曲面,的外法线方向上的单位向量是定义在的某个开邻域上的连续的二阶张量场,的转置,则

证明:下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为,则

接下来利用向量场的高斯公式,可得

于是

至此证毕。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
  2. ^ 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005