高斯整數

高斯整數是複數面上的整點。

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作$\mathbf {Z} [i]$，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。

$\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}$

高斯整數的范数都是非負整數，定義為

$N(zw)=N(z)N(w)$

$\mathbf {Z} [i]$單位元$1,-1,i,-i$的範數均為$1$。

高斯整環

高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为$1,-1,i,-i$。

質元素

$\mathbf {Z} [i]$的素元素又称为高斯質數。

高斯整数$a+bi$是素数当且仅当：

• $a,b$中有一个是零，另一个是形为$4n+3$或其相反数$-(4n+3)$的素数

或

• $a,b$均不为零，而$a^{2}+b^{2}$为素数。

高斯素数的分布

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数$g$，$g\mid g{\overline {g}}=N(g)$。现在，$N(g)$是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数$p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$的乘积。根据素数的定义，如果$g$是素数，则它可以整除$p_{i}$，对于某个$i$。另外，${\overline {g}}$可以整除${\overline {p_{i}}}=p_{i}$，因此$N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}$。于是现在只有两种选择：要么$g$的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数$p$，有$N(g)=p^{2}$，那么$g$和${\overline {g}}$都能整除$p^{2}$。它们都不能是可逆元，因此$g=pu$，以及${\overline {g}}=p{\overline {u}}$，其中$u$是可逆元。这就是说，要么$a=0$，要么$b=0$，其中$g=a+bi$。

然而，不是每一个素数$p$都是高斯素数。$2$就不是高斯素数，因为$2=(1+i)(1-i)$。高斯素数不能是$4n+1$的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成$a^{2}+b^{2}$的形式，其中$a$和$b$是整数，且$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$。剩下的就只有形为$4n+3$的素数了。

形为$4n+3$的素数也是高斯素数。假设$g=p+0i$，其中$p=4n+3$是素数，且可以分解为$g=hk$。那么$p^{2}=N(g)=N(h)N(k)$。如果这个分解是非平凡的，那么$N(h)=N(k)=p$。但是，任何两个平方数的和都不能写成$4n+3$的形式。因此分解一定是平凡的，所以$g$是高斯素数。

类似地，$i$乘以一个形为$4n+3$的素数也是高斯素数，但$i$乘以形为$4n+1$的素数则不是。

如果$g$是范数为素数的高斯整数，那么$g$是高斯素数。这是因为如果$g=hk$，那么$N(g)=N(h)N(k)$。由于$N(g)$是素数，因此$N(h)$或$N(k)$一定是1，所以$h$或$k$一定是可逆元。

作为整闭包

高斯整数环是$\mathbf {Z}$在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环

在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为${\frac {\sqrt {2}}{2}}$个单位。因此，$\mathbf {Z} [i]$是一个欧几里德环，其中$v(z)=N(z)$。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如$\langle a+bi\rangle$。若$(a,b)=1$，則對應的商是：

$\mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.$

未解决的问题

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数$3,7,11,19,\dots$。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为$1$的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

參見

• 艾森斯坦整數
• 费马平方和定理
• 二次互反律

参考文献

• C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
• 从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
• Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5