高斯消去法

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提示:本条目的主题不是高斯-若爾當消元法

数学上,高斯消元法(或译:高斯消去法)(英语:Gaussian Elimination),是线性代数中的一个算法,可用來為線性方程組求解,求出矩陣的秩,以及求出可逆方陣逆矩陣。当用于一个矩陣时,高斯消去法會产生出一個「行梯陣式」。

历史[编辑]

该方法以数学家卡尔·高斯命名,但最早出现于中国古籍《九章算术》,成书于约公元前150年。[1]

例子[编辑]

高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制:

這個算法的原理是:

首先,要將以下的等式中的消除,然後再將以下的等式中的消除。這樣可使整个方程組變成一個三角形似的格式。之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中,就可求出其餘的答案了。

在剛才的例子中,我們將相加,就可以將中的消除了。然後再將相加,就可以將中的消除。

我們可以這樣寫:

結果就是:

現在將相加,就可將中的消除:

其結果是:

這樣就完成了整個算法的初步,一個三角形的格式(指:變數的格式而言,上例中的變數各為3,2,1個)出現了。

第二步,就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。第一個答案就是:

然後就可以將代入中,立即就可得出第二個答案:

之後,將代入之中,最後一個答案就出來了:

就是這樣,這個方程組就被高斯消去法解決了。

這種算法可以用來解決所有線性方程組。即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式,高斯消去法仍可找出它的解。例如,如果在第一步化簡後,中沒有出現任何,沒有三角形的格式,照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行梯陣式。這情況之下,這個方程組會有超過一個解,當中會有至少一個變數作為答案。每當變數被鎖定,就會出現一個解。

通常人或電腦在應用高斯消去法的時候,不會直接寫出方程組的等式來消去未知數,反而會使用矩陣來計算。以下就是使用矩陣來計算的例子:

跟著以上的方法來運算,這個矩陣可以轉變為以下的樣子:

這矩陣叫做「行梯陣式」。

最後,可以利用同樣的算法產生以下的矩陣,便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來:

最後這矩陣叫做「簡化行梯陣式」,亦是高斯-約當消去法指定的步驟。

其他應用[编辑]

找出逆矩陣[编辑]

高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣逆矩陣。設為一個的矩陣,其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。將一個 單位矩陣放在的右手邊,形成一個的分塊矩陣。經過高斯消去法的計算程序後,矩陣的左手邊會變成一個單位矩陣,而逆矩陣會出現在的右手邊。

假如高斯消去法不能將化為三角形的格式,那就代表是一個不可逆的矩陣。

應用上,高斯消去法極少被用來求出逆矩陣。高斯消去法通常只為線性方程組求解[2]

計出秩的基本算法[编辑]

高斯消去法可應用在任何矩陣。在不可減去某數的情況下,我們都只有跳到下一行。以一個的矩陣作例,它可以變化為一個行梯陣式:

而矩陣中的*'是一些數字。這個梯陣式的矩陣會有一些關於的資訊:

  • 是5,因為有5列非0的列;
  • 的行的向量空間Col(A),可從的第1、3、4、7和9行中得知,其數值在矩陣之中;
  • 矩陣中的*'表示了的列可怎樣寫為列中的數的組合。

分析[编辑]

高斯消去法算法复杂度O(n3);这就是说,如果系數矩阵的是n × n,那么高斯消去法所需要的计算量大约与n3成比例

高斯消去法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。不過,如果有過百萬條等式時,這個算法會十分費時。一些極大的方程組通常會用迭代法來解決。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。

高斯消去法可用在任何中。

高斯消去法對於一些矩陣來說是穩定的。對於普遍的矩陣來說,高斯消去法在應用上通常也是穩定的,不過亦有例外。[3]

伪代码[编辑]

高斯消去法的其中一种伪代码

 i = 1
 j = 1
 while (i  m and j  n) do
   Find pivot in column j, starting in row i    // 从第i列(row)开始,找出第j行(column )中的最大值(i、j值应保持不变)  #臺灣與大陸的列、行定義相反。臺灣列為row行為column,大陸列為column行為row。
   maxi = i
   for k = i+1 to m do
     if abs(A[k,j]) > abs(A[maxi,j]) then
       maxi = k   // 使用交换法找出最大值(绝对值最大)
     end if
   end for
   if A[maxi,j]  0 then  // 判定找到的绝对值最大值是否为零:若不为零就进行以下操作;若为零则说明该列第(i+1)列以下(包括第(i+1)列)均为零,不需要再处理,直接跳转至第(j+1)行第(i+1)列
     swap rows i and maxi, but do not change the value of i   // 将第i行与找到的最大值所在行做交换,保持i值不变(i值记录了本次操作的起始行)
     Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j].
     divide each entry in row i by A[i,j]    // 将交换后的第i列归一化(第i列所有元素分别除以A[i,j])
     Now A[i,j] will have the value 1.
     for u = i+1 to m do    // 第j行中,第(i+1)列以下(包括第(i+1)列)所有元素都减去A[i,j],直到第j行的i+1列以後元素均為零
       subtract A[u,j] * row i from row u
       Now A[u,j] will be 0, since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0.
     end for
     i = i + 1   
   end if
   j = j + 1  // 第j行中,第(i+1)列以下(包括第(i+1)列)所有元素均为零。移至第(j+1)行,从第(i+1)列开始重复上述步骤。
 end while

这个算法和之前谈到的有点不同,它由绝对值最大的部分开始做起,这样可以改善算法的稳定性。本算法由左至右地计算,每作出以下三个步骤,才跳到下一行和下一列:

  1. 定出每行的绝对值最大的一个非0的数,将第一列的值与该列交换,使得第一列拥有这一行的最大值;
  2. 将第一行的数字除以该数,使得该列的第一个数成为1;
  3. 對每一列減去第一列乘以每一列的第一個數,使得每一列的第一個數變為0。

所有步骤完成后,这个矩阵会变成一个列梯矩阵,再用代入法就可以求解该方程组。


随着多核处理器的日益普及,现在的程序员可以利用线程级并行高斯消元算法来提高计算的速度。内存共享模式(而不是消息交换模式)的伪代码如下所示:

// Note this code sample has been mangled (missing attr init/scope? bad gauss() indentation?)...
// What is original source?  Can we get valid C or else simplified pseudo code instead of this hybrid?

 void parallel(int num_threads,int matrix_dimension)
 {
  int i;
  for(i=0;i<num_threads;i++)
    create_thread(&threads[i],i);
  pthread_attr_destroy(&attr); // Free attribute and wait for the other threads
  for(i=0;i<p;i++)
    pthread_join(threads[i],NULL);
 }
 void *gauss(int thread_id)
 {
  int i,k,j;
  for(k=0;k<matrix_dimension-1;k++)
  {
    if(thread_id==(k%num_thread))  //interleaved-row work distribution
    {
      for(j=k+1;j<matrix_dimension;j++)
        M[k][j]=M[k][j]/M[k][k];
      M[k][k]=1;
    }
    barrier(num_thread,&mybarrier);      //wait for other thread finishing this round
    for(i=k+1;i<matrix_dimension;i=i+1)
        if(i%p==thread_id)
        {
           for(j=k+1;j<matrix_dimension;j++)
             M[i][j]=M[i][j]-M[i][k]*M[k][j];
           M[i][k]=0;
        }
    barrier(num_thread,&mybarrier);
  }
  return NULL;
 }
 void barrier(int num_thread, barrier_t * mybarrier)
 {
   pthread_mutex_lock(&(mybarrier->barrier_mutex));
   mybarrier->cur_count++;
   if(mybarrier->cur_count!=num_thread)
        pthread_cond_wait(&(mybarrier->barrier_cond),&(mybarrier->barrier_mutex));
   else
   {
       mybarrier->cur_count=0;
       pthread_cond_broadcast(&(mybarrier->barrier_cond));
   }
   pthread_mutex_unlock(&(mybarrier->barrier_mutex));
 }

參考文獻[编辑]

  1. ^ 第八章 方程. 《[[九章算术]]》. 150bc [2007年12月25日].  网址-维基内链冲突 (帮助)
  2. ^ Atkinson, 1989年,第514頁
  3. ^ Golub and Van Loan, §3.4.6
  • Atkinson, Kendall A. An Introduction to Numerical Analysis, 第二版, John Wiley & Sons, New York, 1989年 ISBN 978-0-471-50023-0
  • Golub, Gene H., and Van Loan, Charles F. Matrix computations, 第三版, Johns Hopkins, Baltimore, 1996年 ISBN 978-0-8018-5414-9
  • Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. Schaum's Outlines: Linear Algebra, Tata McGraw-hill edition.Delhi 2001年, 第69-80頁

參見[编辑]

外部链接[编辑]