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鴿巢原理

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10只鸽子放进9个鸽笼,那么一定有一个鸽笼放进了至少两只鸽子。

鴿巢原理,又名狄利克雷抽屜原理鴿籠原理

其中一種簡單的表述法為:

  • 若有n個籠子和n+1隻鴿子,所有的鴿子都被關在鴿籠裡,那麼至少有一個籠子有至少2隻鴿子。

另一種為:

  • 若有n個籠子和kn+1隻鴿子,所有的鴿子都被關在鴿籠裡,那麼至少有一個籠子有至少k+1隻鴿子。

集合论的表述如下:

  • 若A是n+1元集,B是n元集,則不存在從A到B的單射

拉姆齐定理是此原理的推廣。

例子[编辑]

雖然鴿巢原理看起來很容易理解,但有時使用鴿巢原理會得到一些有趣的結論:

  • 比如:北京至少有兩個人頭髮數一樣多。
    • 證明:常人的頭髮數目在15萬左右,可以假定沒有人有超過100萬根頭髮,但北京人口大於100萬。如果把每個鴿巢定義為「頭髮的數量」,便共有100萬個鴿巢。打一個比方,一根頭髮的人就會被編排在一根頭髮屬於的巢、兩根就在兩根頭髮屬於的巢,如此類推。鴿子則對應於人,那就變成了有大於100萬隻鴿子要進到100萬個巢中(另一種說法是把多於100萬個人編排到他們身上頭髮所屬的鴿巢,比如有一個人有三根頭髮,他便會進了屬於有三根頭髮的人的鴿巢)。因為北京人口多於100萬,如果受訪的前100萬人頭髮數目剛好不同,第100萬零一個的北京市民就必定會進了一個已經有一人在內的鴿巢。因此,我們便可以得到「北京至少有兩個人頭髮數一樣多」的結論。

另一個例子:

  • 盒子裡有10隻黑襪子、12只藍襪子,你需要拿一對同色的出來。假設你總共只能拿一次,只要3隻就無法迴避會拿到至少兩隻相同颜色的袜子,因為顏色只有兩種(鴿巢只有兩個),而有三隻襪子(三隻鴿子),從而得到「拿3隻襪子出來,就能保證有一雙同色」的結論。

另一個例子:

某男性先後有過4位妻子,合共生有2子3女,則至少有2位子女有同一位母親,且至少1位妻子沒有女兒,至少2位妻子沒有兒子。
若非如此,即任何2位子女都沒有相同的母親,則該男性至少要有5位妻子,矛盾。
若非如此,即每位妻子都有女兒,則該男性至少要有4位女兒,矛盾。
若非如此,即最多1位妻子沒有兒子,則該男性至少要有3位兒子,矛盾。

更不直觀一點的例子:

  • 有n個人(至少2人)互相握手(隨意找人握),必有兩人握過手的人數相同。
    • 這裡,鴿巢對應於握過手人數,鴿子對應於人,每個人都可以與[0,n-1]人握過手(但0和n-1不能同時存在,因為如果一個人不和任何人握手,那就不會存在一個和所有其他人都握過手的人),所以鴿巢是n-1個。但有n個人(n隻鴿子),因此証明了命題正確。

鴿巢原理經常在計算機領域得到真正的應用。比如:哈希表的重複問題(衝突)是不可避免的,因為Keys的數目總是比Indices的數目多,不管是多麼高明的算法都不可能解決這個問題。這個原理,還證明任何無損壓縮算法,在把一個文件變小的同時,一定有其他文件增大來輔助,否則某些信息必然會丟失。

推廣[编辑]

一种表达是这样的:如果要把n个物件分配到m个容器中,必有至少一个容器容纳至少个物件。

数学证明[编辑]

设把n+1个元素分为n个集合,记表示这n个集合里相应的元素个数。

假设

因为

所以

所以

这与题设矛盾,因此结论得证。

无穷集中的情况[编辑]

藉由康托的无穷基数可将鸽巢原理推广到无穷集中:如果集合A的大于集合B的势,那么不存在由A到B的单射

来源[编辑]

  • Grimaldi, Ralph P. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. 4th edn. 1998. ISBN 0-201-19912-2. pp. 244–248.
  • Jeff Miller, Peter Flor, Gunnar Berg, and Julio González Cabillón. "Pigeonhole principle". In Jeff Miller (ed.) Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Electronic document, retrieved 11 November 2006.
  • 抽屉原理

外部連結[编辑]