麥卡托投影法

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麥卡托世界地图(1569年)
地球的一个麥卡托投影法。

麥卡托投影法(Mercator projection),又稱麥卡托投影法正軸等角圓柱投影,是一種等角的圓柱形地圖投影法。本投影法得名於傑拉杜斯·麥卡托法蘭提斯出身的地理學家地圖学家。他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上,緯線於任何位置皆垂直相交,使世界地圖可以繪製在一個長方形上。由於可顯示任兩點間的正確方位,航海用途的海圖航路圖大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变,從而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变(即等角);但麥卡托投影会使面积产生变形,极点的比例甚至达到了无穷大。

数学计算[编辑]

地图上纵向方位(图中的横轴)和纬度(图中的纵轴)的关系。

下列公式定义在使用麦卡托投影的地图中,从纬线φ经线λ(其中λ0是地图的中央经线)如何推导为坐标系中的坐标xy

这是古德曼函数的逆推导:

这是古德曼函数:

比例尺与纬度φ正割成比例,越趋向极地φ = ±90°)面积变形越大。此外,由公式可知,极点处的y值为正负无穷大。

公式推导[编辑]

麥卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。(实际上并非为正球形,而是有扁率的,但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确,可插入等角纬线。)我们需要将经纬度坐标(λφ)转换为笛卡尔坐标(xy),求以赤道为基准的切柱面投影(即x = λ),并保持形状不变,故:

x = λ 可知

给出

因此,yφ的唯一函数,且可得到,由积分表

在地图中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

以麥卡托投影法繪製的地圖。

参见[编辑]

參考資料[编辑]

  • Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages下载。
  • Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004. 
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.