黄金矩形

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黄金矩形是一个长和宽的比為黄金比例 $\varphi$ 的矩形。

$\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.6180339887...$

很多国家的国旗都是黄金矩形。

特性

在黄金矩形中以短邊為邊長劃一正方形，矩形剩下的部份是一個較小的黄金矩形，說明如下：

假設一黄金矩形的短邊為 $b$，長邊為　$a= \varphi b$
若在黄金矩形中以短邊為邊長劃一正方形，則長邊剩下的長度為

$a - b = (\varphi - 1)b = (\frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1)b = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})b = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} b = \frac{1}{\varphi} b$

a /b和 b/a-b 的比值均為 $\varphi$，因此所組成的矩形仍為一黄金矩形。

繪製

一個黃金矩形的畫法

黃金矩形可以尺規作圖來繪製

1. 繪製一個正方形
2. 以方型任一邊的中點為圓心，到對角長(即切割出來的長方形的對角線)為半徑畫弧
3. 把該邊延長，通過上個步驟所畫的弧，即完成黃金矩形的長邊
4. 完成剩餘部分

原理

因為黃金比例等於

$\frac{ 1 + \sqrt{5}}{2} : 1$

約等於 162：100

同乘2等於

$1 + \sqrt{5} : 2$

約等於 324：200

將正方形的一邊看作2
由中點到對角長的長度即是$\sqrt{5}$(由勾股定理求出)，故所求出的長邊即是$1 + \sqrt{5}$

参看

• 黄金螺线