黄金矩形

1.6180339887498948...
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黄金矩形是一个长和宽的比為黄金比例 $\varphi$$\varphi$ 的矩形。

$\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...$$\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...$

特性

在黄金矩形中以短邊為邊長劃一正方形，矩形剩下的部份是一個較小的黄金矩形，說明如下：

假設一黄金矩形的短邊為 $b$$b$，長邊為　$a=\varphi b$$a=\varphi b$
若在黄金矩形中以短邊為邊長劃一正方形，則長邊剩下的長度為

$a-b=(\varphi -1)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1\right)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)b={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}b={\frac {1}{\varphi }}b$$a-b=(\varphi -1)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1\right)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)b={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}b={\frac {1}{\varphi }}b$

a /b和 b/a-b 的比值均為 $\varphi$$\varphi$，因此所組成的矩形仍為一黄金矩形。

繪製

一個黃金矩形的畫法

黃金矩形可以尺規作圖來繪製

1. 繪製一個正方形
2. 以方型任一邊的中點為圓心，到對角長(即切割出來的長方形的對角線)為半徑畫弧
3. 把該邊延長，通過上個步驟所畫的弧，即完成黃金矩形的長邊
4. 完成剩餘部分

原理

因為黃金比例等於

${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1$${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1$

約等於 162：100

同乘2等於

$1+{\sqrt {5}}:2$$1+{\sqrt {5}}:2$

約等於 324：200

將正方形的一邊看作2
由中點到對角長的長度即是${\sqrt {5}}$${\sqrt {5}}$(由勾股定理求出)，故所求出的長邊即是$1+{\sqrt {5}}$$1 + \sqrt{5}$

参看

• 黄金螺线