# 黎曼级数定理

## 相关定义

${\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon }$.

## 定理的陈述

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}$

## 例子

${\displaystyle A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

### 趋近任一个实数

${\displaystyle S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),}$

${\displaystyle A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}$

${\displaystyle A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),}$

${\displaystyle A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),}$

1. 从第一项起，将${\displaystyle A_{h}}$中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过${\displaystyle C}$为止：必定存在一个自然数${\displaystyle N_{1}}$，使得${\displaystyle A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+（假设${\displaystyle A_{0}=0}$）。将第1至第${\displaystyle N_{1}}$项定义为：
${\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1}$
2. 从第${\displaystyle N_{1}+1}$项开始，将${\displaystyle A_{h}}$中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于${\displaystyle C}$为止：必定存在一个自然数${\displaystyle N_{2}>N_{1}}$，使得${\displaystyle A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+。将第${\displaystyle N_{1}+1}$至第${\displaystyle N_{2}}$项定义为：
${\displaystyle \forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}}$

## 证明

1. 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的；
2. 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

${\displaystyle A^{+}}$是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设${\displaystyle A^{+}}$收敛到某个定值${\displaystyle S^{+}}$，那么可以证明${\displaystyle A^{-}}$也是收敛级数，级数和为${\displaystyle S-S^{+}}$。因而可以证明，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=A^{+}-A^{-}}$也是收敛级数，这与${\displaystyle A}$是条件收敛级数的设定矛盾。所以，${\displaystyle A^{+}}$发散到正无穷大。同理可证，${\displaystyle A^{-}}$发散到负无穷大。[1]:154-155

${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$是一个条件收敛的级数，级数和为${\displaystyle S}$。这说明，级数${\displaystyle A}$的部分和${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$趋向极限${\displaystyle S}$。所以对任意${\displaystyle \epsilon >0}$，存在自然数${\displaystyle M>0}$使得对任意${\displaystyle N>M}$，都有：

${\displaystyle |S_{N}-S|<\epsilon .}$

${\displaystyle |a_{N}|=|S_{N}-S_{N-1}|\leqslant |S_{N}-S|+|S_{N-1}-S|<2\epsilon .}$

## 推廣

• 級數∑ an為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
• 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L
${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0}$

## 参考来源

1. J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.
2. S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.
3. D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.