黎曼级数定理

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黎曼级数定理(亦称黎曼重排定理),是一个有关於无穷级数性质的数学定理,得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明,如果一个实数无穷级数若是条件收敛的,它的项在重新排列後,重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值,甚至发散

许多有限项级数具有的性質,在一般的无穷级数不一定滿足,例如一般的有限项级数可以重新排列各項,其級數和不會改變,但在无穷级数中,只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相关定义[编辑]

给定无穷级数,其部分和为:。如果部分和的数列

收敛于某个数值:,则级数收敛。也就是说,如果对于任何的,总存在一个整数N,使得如果,则

.

那么级数收敛。如果级数收敛,但级数发散,则称此级数是条件收敛的。[1]:149

定理的陈述[编辑]

假设是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数,都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列,使得

此外,也存在另一种排列,使得

类似地,也可以有办法使它的部分和趋于,或没有任何极限。[2]:192

反之,如果级数是绝对收敛的,那么无论怎样重排,它仍然会收敛到同一个值,也就是级数的和。[2]:193

例子[编辑]

交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子:

收敛,而

调和级数,它是发散的。虽然在标准的表示法中,交错调和级数收敛于ln(2),我们可以把它的项重新排列,使它收敛于任何一个数,甚至发散。例如,如果排列为以下的形式,

那么这时的和等于

可以看出,它的和是原来的和的一半。[1]:153-154[3]:108-111

趋近任一个实数[编辑]

将交错调和级数重排趋向1.5的步骤:从1开始,将正项按顺序相加,直到超过1.5(红点处),然后加入负项,直到低于1.5(绿点),再开始累加正项……

用不同的排列方法,可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上,由于调和级数是发散的,它的部分和可以近似估计为:

其中表示一个当N趋于无穷大时的无穷小欧拉常数。如果将调和级数中所有负项(也就是所有偶数项)相加,得到的级数会是:

它的部分和是:

因此所有正项相加的级数的部分和是:

这也是一个发散级数,趋向正无穷。因此,对任意给定的正实数,可以使用以下的算法来构造出趋向的重排级数的每一项:

  1. 从第一项起,将中的正项(奇数项)从前往后放入,一直放到超过为止:必定存在一个自然数,使得(假设)。将第1至第项定义为:
  2. 从第项开始,将中的负项(偶数项)从前往后放入,一直放到小于为止:必定存在一个自然数,使得。将第至第项定义为:

交替重复这两步来重排级数,可以将重排级数的部分和保持在上下,而因为是重复第k步时首次“跨过”时候的值,因而它与的差距必定不超过“跨越”时的“步长”,也就是。随着越来越大,的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数最终会收敛于[3]:111-113

证明[编辑]

对一般的条件收敛级数,也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立,原因有二:首先,所有正项构成的级数发散到正无穷大,所有负项构成的级数发散到负无穷大,所以每次超出(低于)目标值以后,只要不停地累加,必然能够再次低于(超出)目标值;其次,调和级数是由相加而成,而随着趋向无穷,趋向于0,也就是说“步长”趋向0,所以最终能够收敛。所以只需要证明,任何条件收敛级数都满足这两个性质:

  1. 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的;
  2. 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0.

就能证明黎曼级数定理成立了。

性质一

设有给定的条件收敛级数,级数和为。为了简便起见,假设中每一项都不等于0(否则可以随意将它们重排在任何地方)。中的正项和负项必定都有无穷多个。将中所有大于0的项按照它们原来在中的顺序重新标号排列,可以得到由所有正项排列而成的级数。同样可以建立由所有负项排列而成的级数

是一个正项级数,所以它要么收敛到某个定值,要么发散到正无穷大。假设收敛到某个定值,那么可以证明也是收敛级数,级数和为。因而可以证明,级数也是收敛级数,这与是条件收敛级数的设定矛盾。所以,发散到正无穷大。同理可证,发散到负无穷大。[1]:154-155

性质二

是一个条件收敛的级数,级数和为。这说明,级数的部分和趋向极限。所以对任意,存在自然数使得对任意,都有:

所以对任意

这说明当趋于无穷大时,趋于0.

证明了性质一与性质二後,就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数,不妨假设. 首先将的项按顺序累加,直到部分和超过为止,然后再将的项按顺序累加在其後,直到部分和小于为止,接着再将剩余的项按顺序累加在其後,直到部分和超过为止……这个算法可以一直进行下去,因为根据性质一,都是发散的。而在执行算法的过程中,部分和与会越来越接近。因为无论是在部分和低于,逐项增加到超过的过程中,还是在部分和超过了,逐项减少到低于的过程中,部分和与的差距(绝对值)都不超过前一次“跨越”值的那一刻,部分和与的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越”值时的“步长”。假设第次“跨越”的是在累加第项的时候发生的,那么直到第次“跨越”时,部分和与的差距都小于等于。随着趋于无穷大,也趋于无穷大,因而根据性质二,趋于0,也就是说部分和与的差距趋于0。这等价于说重排後的级数收敛于

如果,只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第次累加正项要超越的值从改为,然后累加负项直到低于,再开始第次累加正项直到超越,如此以往,就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1,将每次累加负项要低于的值设为0,那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动,从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。[2]:193-197[1]:154-156

推廣[编辑]

此定理可推廣至斯坦尼兹定理。給定一個複數收斂級數∑ an,則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能:

  • 級數∑ an為絕對收斂,所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
  • 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合,則S要不為整個複數平面C,要不為複數平面上C上的一條線L

更一般的說,給定一個有限維度實向量空間E,考慮其向量組成的收斂級數,則重排級數之和的集合為E仿射子空間

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927. 
  3. ^ 3.0 3.1 D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.