黎曼-罗赫定理

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黎曼–罗赫定理Riemann–Roch theorem)是数学中,特别是复分析代数几何,一个重要工具,它可计算具有指定零点与极点亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通黎曼曲面上的复分析以某种方式可转换为纯代数设置。

此定理最初是黎曼不等式,对黎曼曲面的确定形式由黎曼短命的学生古斯塔·罗赫于1850年代证明。随后推广到代数曲面,高维代数簇,等等。

一些数据[编辑]

我们从一个亏格 g 的连通紧黎曼曲面开始,在上面取定一点 P。我们想知道极点只在 P 的函数。这是向量空间的一个递增序列:没有极点的函数(即常值函数),在 P 有单极点,在 P 点最多有两个极点,三个极点……这些空间都是有限维的。在 g=0 我们可知维数的序列前几项为

1, 2, 3, ...:

这可由部分分式理论得出。反之,如果此序列开始为

1, 2, ...

g 必然是零(所谓黎曼球面)。

椭圆函数理论知,g=1 时此序列是

1, 1, 2, 3, 4, 5 ...

且这也刻画了 g=1 情形。当 g > 2 时,序列前端不是固定的;但我们可以确定此序列的后端。我们也可以看到为什么 g=2 的情形是特殊的,由超椭圆曲线理论,其序列开始几项为

1, 1, 2, ...

这些结论为何具有这种形式可以追溯到此定理的表述(罗赫的部分):两个维数之差。当其中一个可以为零,我们得到一个确定的公式,对亏格与度数(即自由度的个数)是线性的。这些例子已经可重构出如下形式

维数 − 修正项 = 度数 − g + 1。

g = 1,修正项当度数为 0 时是 1;其它情形是 0。整个定理说明修正项是函数空间的一个“补空间”的维数。

定理的陈述[编辑]

用现代记法,亏格为 g 的紧黎曼曲面与一个典范除子 K 的黎曼–罗赫定理表述为:

l(D) − l(KD) = deg(D) − g + 1.

这对所有除子 D 均成立。除子是曲面上点的自由阿贝尔群中一个元素。等价地,一个除子是曲面上一些点的整系数线性组合。

我们定义一个亚纯函数 f 的除子为

(f):=\sum_{z_\nu \in R(f)} s_\nu z_\nu

这里 R(f) 是所有零点与极点的集合,而 sν 定义为

s_\nu := \begin{cases}\;\;\,a \\-a \end{cases} ,如果 z_\nu 是一个 a 重零点;
,如果 z_\nu 是一个 a 阶极点。

我们类似地定义一个亚纯 1-形式的除子。一个整体亚纯函数的除子叫做主除子。相差一个主除子的两个除子称为线性等价。一个整体亚纯 1-形式的除子叫做典范除子(通常记作 K)。任何两个亚纯 1-形式都是线性等价的,所以典范除子在线性等价的意义下是惟一的。

符号 deg(D) 表示除子 D 的度数,即在 D 中出现的系数之和。可以证明一个整体亚纯函数的除子的度数总是 0,所以除子的度数只取决于线性等价类。

l(D) 是首先感兴趣的量:使得 (h) + D 的所有系数都是非负的曲面上亚纯函数 h 组成的向量空间的维数(在 C 上)。直觉上,我们可以将其想象为在每一点处的极点不比 D 中对应系数更坏的所有亚纯函数;如果在 zD 的系数是负数,则我们要求 hz 处至少有那个重数的零点;如果 D 的系数是正数,h 最多有那个阶数的极点。线性等价的除子相应的向量空间通过乘以那个整体亚纯函数(这在差一个常数下是良定义的)是自然同构的。

即便我们对 K 一无所知,我们知道特殊性指标index of speciality[1][2](上文所说的修正项)

l(KD) ≥ 0,

所以

l(D) ≥ deg(D) − g + 1

这就是早先提到的黎曼不等式

上面定理对所有紧连通黎曼曲面都成立。这个公式对一个代数闭域 k 上所有非奇异射影代数曲线也成立。这里 l(D) 表示在每一点的极点不坏于 D 中对应系数的曲线上有理函数空间的维数(在 k 上)。

为了将其与我们上面的例子联系起来,我们需要 K 的一些信息:对 g=1 我们可取 K=0,而对 g=0 可取 K = −2P (任何 P)。一般地 K 的度数是 2g − 2。只要 D 的度数至少是 2g − 1 我们可确保修正项是 0。

回到 g= 2 的情形我们可知上面提到的序列是

1, 1, ?, 2, 3, ... .

由此知度数为 2 的不确定项是 1 或 2,当然与点的选择有关。可以证明任何亏格为 2 的曲线恰有六个点的序列是 1, 1, 2, 2, ... 而其它一般点的序列是 1, 1, 1, 2, ...。特别地,一个亏格 2 曲线是超椭圆曲线。对 g>2 几乎所有点的序列以 g+1 个 1 开始,只有有限个点为其它序列(参见魏尔斯特拉斯点)。

推广[编辑]

曲线的黎曼–罗赫定理对黎曼曲面由黎曼与罗赫于1850年代证明,对代数曲线由施密特于1929年证明。它是基本的,曲线后续理论试图加细它的结论(比如布里尔–诺特理论Brill–Noether theory))。

在更高维(适当的定义除子线丛)此定理有多个版本。它们的一般表述取决于将定理分成两部分。其一,现在称为塞尔对偶性,将 l(KD) 项解释为第一层同调群的维数,l(D) 为零次上同调群(或截面的空间)的维数,定理左边成为一个欧拉示性数,而右边给出它的计算,正好只与黎曼曲面的拓扑有关的一个度数。

在二维代数几何中这样一个公式由意大利几何学派找到;代数曲面的黎曼-罗赫定理证明了(有各种版本,最早可能属于马克斯·诺特。这样的问题大约在1950年前解决了。

n-维推广,希策布鲁赫–黎曼–罗赫定理,由弗里德里希·希策布鲁赫找到并证明,利用了代数拓扑学中的示性类;他深受小平邦彦的工作影响。大约在同一时间让-皮埃尔·塞尔给出了塞尔对偶性的一般形式,故我们冠以他的姓氏。

亚历山大·格罗滕迪克于1957年证明了一个深远的推广,现在叫做格罗滕迪克–黎曼–罗赫定理。他的工作将黎曼–罗赫重新解释为不仅是关于一个簇的定理,而是关于两个簇之间的一个态射的。证明的细节由博雷尔–塞尔于1958年发表。

最后在代数拓扑中也找到了一个一般版本。这些发展本质上在1950年至1960年完成。阿蒂亚–辛格指标定理开启了这一条推广的道路。

它导致的结论是一个凝聚层相当好计算。如果只对交错和中一项感兴趣,这是通常的情形,必需更进一步的讨论比如消灭定理vanishing theorem)。

脚注[编辑]

  1. ^ Stichtenoth p.22
  2. ^ Mukai pp.295-297

参考文献[编辑]