黑格纳数

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黑格纳数(Heegner number)指滿足以下性質,非平方數的正整數:其虚二次域Q(√−d)的類数为1,亦即其整數環唯一分解整環[註解 1][1]

黑格纳数只有以下九個: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。(OEIS中的数列A003173

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個,但未提出證明,1952年庫爾特·黑格納英语Kurt Heegner提出不完整的證明,後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明,即為斯塔克–黑格納定理英语Stark–Heegner theorem

歐拉的質數多項式[编辑]

歐拉的質數多項式如下:

n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數,這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式,取值為1,... 40和以下的多項式

取值0,... 39時等效,而Rabinowitz[2]證明了

時,多項式為質數的充份必要條件為其判別式等於負的黑格纳数。

(若代入會得到一定不是質數,因此最大值只能取到

1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為,這些數字被弗朗索瓦·勒·利奥奈英语François Le Lionnais稱為歐拉的幸運數英语lucky numbers of Euler[3]

拉马努金常数[编辑]

拉马努金常数是的值,是超越數[4],但非常接近整数

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現[5],在1975年愚人節的《科学美国人[6],《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數,而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數,因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用j-invariant英语j-invariant複數乘法英语complex multiplicationq展開來表示。

註解[编辑]

  1. ^ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環,也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式,例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環,因為6可以以兩種方式在 中表成整數乘積:

參考資料[编辑]

  1. ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X. 
  2. ^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
  3. ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
  4. ^ MathWorldTranscendental Number的资料,作者:埃里克·韦斯坦因。 gives , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
  5. ^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6. 
  6. ^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127. 

外部連結[编辑]