齐次函数

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數學中,齐次函数是一個有倍數性質的函數:如果变數乘以一個係數,則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

正式定义[编辑]

假设内的两个向量空间之间的函数。

我们说是“次齐次函数”,如果对于所有非零的,都有:

即是,在歐幾里得空間, 其中指數函數

例子[编辑]

  • 线性函数是一次齐次函数,因为根据线性的定义,对于所有的,都有:
  • 多线性函数是n次齐次函数,因为根据多线性的定义,对于所有的都有:
  • 从上一个例子中可以看出,两个巴拿赫空间之间的函数弗雷歇导数次齐次函数。
  • 单项式定义了齐次函数

例如:

是10次齐次函数,因为:

  • 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如:

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理[编辑]

  • 尤拉定理:假设函数可导的,且是次齐次函数。那么:

这个结果证明如下。记,并把以下等式两端对求导:

利用复合函数求导法则,可得:

因此:

以上的方程可以用劈形算符写为:

,定理即得证。

  • 假设是可导的,且是阶齐次函数。则它的一阶偏导数阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记,并把以下等式两端对求导:

利用复合函数求导法则,可得:

因此:

所以

.

用于解微分方程[编辑]

对于以下的微分方程

其中是同次数的齐次函数,利用变量代换,可以把它化为可分离变量的微分方程

参考文献[编辑]

  • Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德文). 

外部链接[编辑]