# 1 − 2 + 3 − 4 + …

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}$

${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}$

## 发散性

1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

## 求和的启发

### 稳定性与线性

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}4s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&-\,1\,+&({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &=&\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}}$

1. 線性：設AΣ為一種級數求和法。如果對於AΣ可定義其上的那些序列，AΣ是個線性泛函的話，則簡單地稱AΣ是線性的。也就是說，對於序列r, s和純量k，有AΣ(k r+s)=k AΣ(r)+AΣ(s)。
2. 穩定性：如果a是一個初項為a0的序列，設a*a去掉初項後的序列，即對於一切n有a*n=an+1，那麼AΣ(a)有定義当且仅当AΣ(a*)有定義。而且，AΣ(a)=a0 + AΣ(a*)。

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&+\quad \quad \ &(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &=&1\,+&(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&+\,1\,-\,2\,+&(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&+\quad \quad \ &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&=&\!&\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&+\quad \quad \ &\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}}$

### 柯西乘积

1891年，恩纳斯托·切萨罗在他的一篇論文中指出有可能将发散级数严謹地納入微积分学，并寫道：

${\displaystyle (1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }$

## 特殊方法

### 切萨罗与赫尔德

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

1, 0,23, 0,35, 0,47, ….

### 阿贝耳求和

……当說该级数1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …的和为14时，那肯定看起來是悖论。因為对该级数的100项相加，我们得到了-50，但是，101项的和却给出+51，这与14是截然不同的，而且这种差距还会随着项数增加而变得更大。不过我在前一段时间已经注意到了，有必要给“和”这个词赋予一个更加广泛的意义……。[10]

……毫无疑问，级数1 − 2 + 3 − 4 + 5 + …的和为14；由于它是由公式1(1+1)2展开而成，而此公式的值明显为14。在考虑一般级数1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + 后这个概念变得更明晰了。这个一般级数是由表达式1(1+x)2展开而成，当我们让 x = 1 后，这个级数就确确实实地相等了。[11]

${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}$

### 欧拉与波莱尔

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}$

${\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}$

### 尺度分离

• 如果φ(x)是一个函数，其一、二阶导数在(0, ∞)上是连续且可积的，有φ(0) = 1 ，并且φ(x)与xφ(x)在+∞时的极限均为0，則：[14]
${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}$

## 广义化

1 − 1 + 1 − 1 + …的三重柯西乘积为1 − 3 + 6 − 10 + …，为三角形数的交错级数；其阿贝耳与欧拉和为18[15]1 − 1 + 1 − 1 + …的四重柯西乘积为1 − 4 + 10 − 20 + …，为四面体数的交错级数，其阿贝耳和为116

${\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}$

${\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}$

“发散级数纯粹是魔鬼的工作，胆敢去找到任何证明它们的行为都是羞耻的。如果用到它们，可以从中获得想要的东西；同时也是它们，制造了如此多的不愉快与如此多的悖论。试问能想到比下面内容更令人惊恐的东西吗：
0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.

## 註釋

1. ^ 「广义和」是指利用一些特殊的方式，計算发散级数的「和」，由於发散级数不會有一般定義下的和，因此稱為广义和。
2. ^ 假定有這樣的極限值x，則總可能找到某個項，使得在其之後的所有項都在區間[x-1, x+1]之外，從而得出矛盾。

## 參考來源

1. ^ Hardy p.8
2. ^ Beals p.23
3. ^ Hardy (p.6) 结合格兰迪级数1 − 1 + 1 − 1 + …的计算提出了此推导过程。
4. ^ "One already writes(1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + …and asserts that both the sides are equal to${\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}}$.", Ferraro, p.130.
5. ^ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
6. B.A.卓里奇. 《数学分析》下册. 高等教育出版社. 2006: 346. ISBN 9787040202571.
7. ^ Hardy, p.9. 要了解详细的计算过程，参看 Weidlich, pp.17–18.
8. ^ Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro批评了Tucciarone对赫尔德他自己对一般结论的看法的解释(p.7)，不过在赫尔德對-1 + 2 − 3 + 4 − …的处理方式上，两位作者的解释是相似的。
9. ^ Ferraro, pp.123–128.
10. ^ Euler et al, p.2. 虽然这篇文章写于1749年，但直到1768年才发表。
11. ^ Euler et al, pp.3, 25.
12. ^ 例如，Lavine (p.23)提倡多项式长除，但並没有真的列出計算步驟；Vretblad (p.231)计算了柯西乘积。欧拉的建议是含糊的；参看Euler et al, pp.3, 26。 约翰·贝兹甚至提出一种包括将点集量子谐振子相乘的范畴理论法。Baez, John C. 欧拉对 1 + 2 + 3 + … = 1/12 的证明 (PDF)页面存档备份，存于互联网档案馆）。 math.ucr.edu （2003年12月19日）。 2007年3月11日检索。
13. ^ Weidlich p. 59
14. ^ Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
15. ^ Kline, p.313.
16. ^ Knopp, p.491; 在 Hardy, p.3. 中的这一点有误
17. ^ Grattan-Guinness, p.80. 参看 Markushevich, p.48, 另一个法语转译版本；保留了原有的语调。
18. ^ Ferraro, pp.120–128.
19. ^ Euler et al, pp.20–25.

### 书目

• Beals, Richard. Analysis: an introduction. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. 2006 [2007-03-22]. （原始内容存档于2012-07-10）. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 1768, 17: 83–106.
• Ferraro, Giovanni. The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences. June 1999, 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor. The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. 1970. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCCN 91-0 – 0.
• Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307–314 [2007-04-20]. （原始内容存档于2019-08-21）.
• Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite. Harvard UP. 1994. ISBN 0674920961.
• Markushevich, A.I. Series: fundamental concepts with historical exposition English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian. Hindustan Pub. Corp. 1967. LCCN 68-0 – 0.
• Alexander I. Saichev, and Wojbor A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. 1996. ISBN 0-8176-3924-1.
• Tucciarone, John. The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences. January 1973, 10 (1-2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
• Vretblad, Anders. Fourier Analysis and Its Applications. Springer. 2003. ISBN 0387008365.
• Weidlich, John E. Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. June 1950. OCLC 38624384.