2的算術平方根

无理数 √2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π
二進制	1.0110101000001001111...
十進制	1.4142135623730950488...
十六進制	1.6A09E667F3BCC908B2F...
连续分数	$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}$

2的算術平方根，俗称“根号2”，记作$\sqrt{2}$，可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“$\sqrt{2}$不是有理数”的命题：若一个直角三角形的两个直角边都是1，那么它的斜边长，无法用整数或分数表示。

$\sqrt{2}$是无理数的证明

人們發現了许多方法证明$\sqrt{2}$是无理数。以下是反證法的證明：

常見的證明

1. 假設$\sqrt{2}$是有理數，即有整數$a_0$、$b_0$，使得$\frac{a_0}{b_0}=\sqrt{2}$
2. 將$\sqrt{2}$重寫成最簡分數$\frac{a}{b}$，即$a$和$b$互質，且$\left(\frac{a}{b}\right)^2=2$
3. 所以$\frac{a^2}{b^2} =2$，即$a^2=2b^2$
4. 因為$2b^2$必為偶数，故$a^2$亦是偶数
5. 故$a$為偶数（奇数的平方不會是偶数）
6. 所以必有一整數$k$，使得$a=2k$
7. 將（3）的式子代入（6）：$2b^2=\left(2k\right)^2$
8. 化简得$b^2=2k^2$
9. 因为$2k^2$是偶数，所以$b^2$是偶数，$b$亦是偶数
10. 所以$a$和$b$都是偶数，跟$\frac{a}{b}$是最簡分數的假設矛盾
11. 因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤，$\sqrt{2}$不是有理數，即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數n，其算術平方根$\sqrt{n}$為無理數。

另一個證明

另外一個$\sqrt{2}$是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮：

1. 假設$\sqrt{2}$是有理數，便可以表示成最簡分數$\frac{m}{n}$，其中m, n為正整數
2. 從$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$，可以推導出$\sqrt{2}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{2-1}=\frac{(2-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\frac{m}{n}}{\frac{m}{n}-1}=\frac{2n-m}{m-n}$
3. 因為$\frac{m-n}{n}=\sqrt{2}-1 < 1$，所以m - n < n
4. 故$\frac{2n-m}{m-n}$是比$\frac{m}{n}$更簡的分數，與$\frac{m}{n}$是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為n，斜邊為m的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為m - n，斜邊為2n - m的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性质

2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积：

$\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) = \left(1-\frac{1}{4}\right) \left(1-\frac{1}{36}\right) \left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots$

$\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty \frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} = \left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right) \left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right) \left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right) \left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots$

$\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1+\frac{1}{4k+1}\right) \left(1-\frac{1}{4k+3}\right) = \left(1+\frac{1}{1}\right) \left(1-\frac{1}{3}\right) \left(1+\frac{1}{5}\right) \left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.$

$\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.$

$\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} + \frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.$

2的算术平方根的连分数展开式为：

$\!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}.$

外部链接

• $\sqrt{2}$是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 舊題新解 — 根號2是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第 30 卷 第 4 期）