2的算術平方根

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无理数
√2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π


二進制 1.0110101000001001111...
十進制 1.4142135623730950488...
十六進制 1.6A09E667F3BCC908B2F...
连续分数

2的算術平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数分数表示。

其最初65位為

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799OEIS中的数列A002193

是无理数的证明[编辑]

人們發現了许多方法证明是无理数。以下是反證法的證明:

常見的證明[编辑]

  1. 假設是有理數,即有整數,使得
  2. 重寫成最簡分數,即互質,且
  3. 所以,即
  4. 因為必為偶数,故亦是偶数
  5. 為偶数(奇数平方不會是偶数)
  6. 所以必有一整數,使得
  7. 將(3)的式子代入(6):
  8. 化简得
  9. 因为是偶数,所以是偶数,亦是偶数
  10. 所以都是偶数,跟是最簡分數的假設矛盾
  11. 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤,不是有理數,即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數正整數n,其算術平方根為無理數。

另一個證明[编辑]

另外一個是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:

  1. 假設是有理數,便可以表示成最簡分數,其中,為正整數
  2. 由於,所以
  3. 因為
  4. 所以
  5. 是比更簡的分數,與是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為,斜邊為等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為,斜邊為的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性质[编辑]

2的算术平方根可以表示为以下的级数无穷乘积

2的算术平方根的连分数展开式为:

参见[编辑]

外部链接[编辑]