在數學物理學 中,格拉斯曼數 (又稱反交換數 )是一種用於狄拉克場 路徑積分表示 的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼 命名的。
性質
各格拉斯曼變數
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
均與代數的實數元無關,它們之間互成反交換 關係,但與一般數
x
{\displaystyle x}
間則為交換關係:
θ
i
θ
j
=
−
θ
j
θ
i
θ
i
x
=
x
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x=x\theta _{i}}
。
需要注意的是,此算符的平方為零:
由於
θ
i
θ
i
=
−
θ
i
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}}
,所以
(
θ
i
)
2
=
0
{\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0\,}
。
為了能讓費米子 也有路徑積分 ,格拉斯曼數的積分需要有以下特性:
∫
[
a
f
(
θ
)
+
b
g
(
θ
)
]
d
θ
=
a
∫
f
(
θ
)
d
θ
+
b
∫
g
(
θ
)
d
θ
{\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }
∫
[
∂
∂
θ
f
(
θ
)
]
d
θ
=
0
{\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0}
。
因此格拉斯曼量的積分有以下的規定:
∫
1
d
θ
=
0
{\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}
∫
θ
d
θ
=
1
{\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1}
。
所以結論為任何格拉斯曼數的微分及積分都是相同的。
在量子場論 的路徑積分表述 中,在描述費米子反交換場時,需要用到以下含格拉斯曼量的高斯積分 :
∫
exp
[
θ
T
A
η
]
d
θ
d
η
=
det
A
{\displaystyle \int \exp \left[\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}
。
其中
A
{\displaystyle A}
為
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
矩陣 。
由格拉斯曼數集合所生成的代數 叫格拉斯曼代數 。由
n
{\displaystyle n}
個線性獨立的格拉斯曼數生成的代數,其維度 為
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
。
格拉斯曼代數是超交換代數 的原型。超交換代數還可以分成偶變量與奇變量,因此可以滿足分層的交換律 (特別是奇變量為反交換)。
外代數
格拉斯曼代數是生成元所張成的向量空間 的外代數 。外代數的定義與基底的選擇無關。
矩陣表示
格拉斯曼數都能以矩陣形式表示。例如,已知一格拉斯曼代數,是由兩個格拉斯曼數
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
及
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}}
所生成。這些格拉斯曼數可用4×4矩陣表示:
θ
1
=
[
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
]
θ
2
=
[
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
1
0
0
]
θ
1
θ
2
=
−
θ
2
θ
1
=
[
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
]
{\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}}
。
一般來說,由n個生成元生成的格拉斯曼代數,可用
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}
的正方形矩陣表示。在物理上,這些矩陣可被視為升算符 ,作用對象為佔位數基底中n個費米子的希爾伯特空間 。由於每個費米子的佔位數皆為0或1,因此共有
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
種基底態。在數學上,這些矩陣可被視為線性算符,對應與格拉斯曼代數自身的左外乘法。
應用
在量子場論 中,格拉斯曼數為反交換算符的“經典類比”。它們用於定義費米子場 的路徑積分 ,因此需要為格拉斯曼數的積分下定義,這種積分又叫別列津積分 。
格拉斯曼數在為超流形 (或超空間 )下定義時有重要用途,此時它們被用作“反交換座標”。
另見
參考資料
Michael Peskin; Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory. Frontiers in Physics. Reading, Massachusetts: Westview Press. 1995: pp298–302. ISBN 0201503972 .