艾里函数 (Ai(x )),英国 英格蘭 天文学家 、數學家 喬治·比德爾·艾里 命名的特殊函数 ,他在1838年研究光学 的时候遇到了这个函数。Ai(x )的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x )与相关函数Bi(x )(也称为艾里函数),是以下微分方程 的解:
y
″
−
x
y
=
0
,
{\displaystyle y''-xy=0,\,\!}
这个方程称为艾里方程 或斯托克斯方程 。这是最简单的二阶线性微分方程 ,它有一个转折点,在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长(或衰减)。
定义
Ai(x )(红色)和Bi(x )(蓝色)的图像
对于实数x ,艾里函数由以下的积分定义:
A
i
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
cos
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}
虽然这个函数不是绝对可积 的(当t 趋于+∞时积分表达式不趋于零),这个广义积分 还是收敛的,因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消(这可以用分部积分法 来检验)。
把:
y
=
A
i
(
x
)
{\displaystyle y=Ai(x)}
求导,我们可以发现它满足以下的微分方程:
y
″
−
x
y
=
0.
{\displaystyle y''-xy=0.\,\!}
这个方程有两个线性独立 的解。除了:
A
i
(
x
)
{\displaystyle Ai(x)}
以外,另外一个解称为第二艾里函数,记为
B
i
(
x
)
{\displaystyle Bi(x)}
。它定义为当x 趋于−∞时,振幅与
A
i
(
x
)
{\displaystyle Ai(x)}
相等,但相位与
A
i
(
x
)
{\displaystyle Ai(x)}
相差
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
的函数:
B
i
(
x
)
=
1
π
∫
0
∞
e
(
−
t
3
3
+
x
t
)
+
sin
(
t
3
3
+
x
t
)
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\ e^{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.}
性质
x
=
0
{\displaystyle x=0}
时,:
A
i
(
x
)
{\displaystyle Ai(x)}
和:
B
i
(
x
)
{\displaystyle Bi(x)}
以及它们的导数的值为:
A
i
(
0
)
=
1
9
3
Γ
(
2
3
)
,
A
i
′
(
0
)
=
−
1
3
3
Γ
(
1
3
)
,
B
i
(
0
)
=
1
3
6
Γ
(
2
3
)
,
B
i
′
(
0
)
=
3
6
Γ
(
1
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}
在这里,:
Γ
{\displaystyle {\Gamma }}
表示伽玛函数 。可以推出Ai(x )和Bi(x )的朗斯基行列式 是
1
π
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}
。
当x 是正数时,Ai(x )是正的凸函数 ,指数衰减为零,Bi(x )也是正的凸函数,但呈指数增长。当x 是负数时,Ai(x )和Bi(x )在零附近振动,其频率逐渐上升,振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。
渐近公式
当x 趋于+∞时,艾里函数的渐近表现为:
A
i
(
x
)
∼
e
−
2
3
x
3
/
2
2
π
x
1
/
4
B
i
(
x
)
∼
e
2
3
x
3
/
2
π
x
1
/
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
而对于负数方向的极限,则有:
A
i
(
−
x
)
∼
sin
(
2
3
x
3
/
2
+
1
4
π
)
π
x
1
/
4
B
i
(
−
x
)
∼
cos
(
2
3
x
3
/
2
+
1
4
π
)
π
x
1
/
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}}
这些极限的渐近展开式 也是可以得到的[ 1] 。
自变量是复数时的情形
我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面:
A
i
(
z
)
=
1
2
π
i
∫
C
exp
(
t
3
3
−
z
t
)
d
t
,
{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}
其中积分路径
C
{\displaystyle C}
从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始,在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外,我们也可以用微分方程
y
″
−
x
y
=
0
{\displaystyle y''-xy=0}
来把Ai(x )和Bi(x )延拓为复平面上的整函数 。
以上Ai(x )的渐近公式在复平面上也是正确的,如果取主值为x 2/3 ,且x 不在负的实数轴上。Bi(x )的公式也是正确的,只要x 位于扇形{x ∈C : |arg x | < (1/3)π−δ}内,对于某个正数δ。最后,Ai(−x )和Bi(−x )是正确的,如果x 位于扇形{x ∈C : |arg x | < (2/3)π−δ}内。
从艾里函数的渐近表现可以推出,Ai(x )和Bi(x )在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x )在复平面内没有其它零点,而Bi(x )在扇形{z ∈C : (1/3)π < |arg z | < (1/2)π}内还有无穷多个零点。
图像
ℜ
[
A
i
(
x
+
i
y
)
]
{\displaystyle \Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}
ℑ
[
A
i
(
x
+
i
y
)
]
{\displaystyle \Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]}
|
A
i
(
x
+
i
y
)
|
{\displaystyle |\mathrm {Ai} (x+iy)|\,}
a
r
g
[
A
i
(
x
+
i
y
)
]
{\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,}
ℜ
[
B
i
(
x
+
i
y
)
]
{\displaystyle \Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}
ℑ
[
B
i
(
x
+
i
y
)
]
{\displaystyle \Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]}
|
B
i
(
x
+
i
y
)
|
{\displaystyle |\mathrm {Bi} (x+iy)|\,}
a
r
g
[
B
i
(
x
+
i
y
)
]
{\displaystyle \mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,}
与其它特殊函数的关系
当自变量是正数时,艾里函数与变形贝塞尔函数 之间有以下的关系:
A
i
(
x
)
=
1
π
1
3
x
K
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
,
B
i
(
x
)
=
1
3
x
(
I
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
I
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}
在这里,I ±1/3 和K 1/3 是方程
x
2
y
″
+
x
y
′
−
(
x
2
+
1
/
9
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0}
的解。
当自变量是负数时,艾里函数与贝塞尔函数 之间有以下的关系:
A
i
(
−
x
)
=
1
3
x
(
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
+
J
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
,
B
i
(
−
x
)
=
1
3
x
(
J
−
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
−
J
1
/
3
(
2
3
x
3
/
2
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}}
在这里,J ±1/3 是方程
x
2
y
″
+
x
y
′
+
(
x
2
−
1
/
9
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0}
的解。
Scorer函数 是
y
″
−
x
y
=
1
/
π
{\displaystyle y''-xy=1/\pi }
的解,它也可以用艾里函数来表示:
G
i
(
x
)
=
B
i
(
x
)
∫
x
∞
A
i
(
t
)
d
t
+
A
i
(
x
)
∫
0
x
B
i
(
t
)
d
t
,
H
i
(
x
)
=
B
i
(
x
)
∫
−
∞
x
A
i
(
t
)
d
t
−
A
i
(
x
)
∫
−
∞
x
B
i
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}
或是利用超几何函数,
Gi
(
z
)
≡
1
3
Bi
(
z
)
−
z
2
2
π
1
F
2
(
1
;
4
/
3
,
5
/
3
;
z
3
/
9
)
{\displaystyle \operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}
Hi
(
z
)
≡
2
3
Bi
(
z
)
+
z
2
2
π
1
F
2
(
1
;
4
/
3
,
5
/
3
;
z
3
/
9
)
{\displaystyle \operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)}
参考文献
^ 参看Abramowitz and Stegun, 1954 和 Olver, 1974。
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , (See §10.4) . National Bureau of Standards .
Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6 , 379–402.
Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
Harold Richard Suiter. Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment. Richmond, VA: Willmann-Bell. 1994. ISBN 978-0-943396-44-6 . (含有许多图像 )
外部链接