G-结构

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微分几何中,对一个给定的结构群 G[1]n流形 M 上一个 G-结构M切标架丛 FM(或 GL(M))的一个 G-子丛

G-结构的概念包括了许多流形上其它结构,其中一些是用张量场定义的。例如,对正交群,一个 O(n)-结构定义了一个黎曼度量;而对特殊线性群,一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式;对平凡群,一个 {e}-结构由流形的一个绝对平行化组成。

一些流形上的结构,比如複结构辛结构,或 凯勒结构,都是 G-结构带上附加的可积性条件

物理学中的术语是规范群

主丛和 G-结构[编辑]

尽管主丛理论在 G-结构的研究中的角色很重要,但两个概念是不同的。一个 G-结构是一个切标架丛的主子丛,但是 G-结构丛“由切标架组成”的事实被视为数据的一部分。例如,考虑 Rn 上两个黎曼度量。伴随的 SO(n)-结构是同构当且仅当度量是同构的。但是,因为 Rn 是可缩的,故下面的 SO(n)-丛作为主丛总是同构。

两个理论的这个基本差别能够被在G-结构下面的 G-丛上添加一个额外的数据:焊接形式solder form)记录。焊接形式是用一个从 M 的切丛到配向量丛的典范同构将 G-结构下面的 G 丛系于流形自身的局部几何上。尽管焊接形式不是一个联络形式,经常可以视为一个联络形式的前身。

详细说来,假设 QG-结构的主丛。如果 Q 是实现为 M 的切丛的压缩,那么焊接形式是标架丛的重言形式由包含映射的拉回给出。抽象地,如果将 Q 视为与它作为一个标架丛实现独立的一个主丛,那么焊接形式由 GRn 上的一个表示 ρ 以及一个丛同构 θ : TMQ ×ρ Rn 组成。

可积性条件[编辑]

流形上不少结构,比如複结构辛结构,或 凯勒结构,均是 G-结构附加一个可积性条件。没有相应的可积性条件,这些结构称为一个“殆(几乎)”结构,比如殆複结构殆辛结构,或殆凯勒流形

特别地,一个辛流形结构是比一个辛群G-结构更强的概念。流形上一个辛结构是 M 上一个非退化2形式 ω(这是一个 Sp-结构,或殆辛结构),以及额外条件 dω = 0;后者称为可积性条件。

类似地,叶状结构对应于 G-结构为分块矩阵以及可积性条件,这样便可利用弗罗贝尼乌斯定理

G-结构的同构[编辑]

M 的保持 G-结构的微分同胚集合称为这个结构的“自同构群”。对一个 O(n)-结构它们就是黎曼度量的等距群,而一个 SL(n,R)-结构为保持体积的映射。

P 是流形 M 上一个 G-结构,Q 是流形 N 上一个 G-结构。那么 G-结构的同构是一个微分同胚 f : MN,使得线性标架的前推 f* : FMFN 的限制给出了 PQ 的一个映射(注意只要 Qf* 的像中)。G-结构 PQ局部同构如果 M 有一个开集覆盖 U 和一族微分同胚 fU : Uf(U) ⊂ N 使得 fU 诱导了一个同构 P|UQ|f(U)

一个 G-结构的自同构G-结构 P 和自己的同构。自同构经常[2]在研究几何结构的变换群中出现,因为流形上许多重要的几何结构可实现为 G-结构。

如果 G-结构 P 有一个由可交换向量场(V1,...,Vn) 组成的整体截面,则称其为平坦 G-结构。若一个 G-结构局部同构于平坦 G-结构,则称为可积的(或“局部平坦”)。

一类广泛的等价问题可以用 G-结构语言阐述。例如,一对黎曼流形是(局部)等价等且仅当 它们的正交标架丛是(局部)同构的 G-结构。在这种看法下,解决一个等价问题的一般过程是建立 G-结构的一个不变量系统使得足以确定一对 G-结构是否为局部等价。

G-结构的联络[编辑]

QM 上一个 G-结构。主丛 Q 上的一个主联络诱导了任何配向量丛的一个联络:特别是切丛。TM 以这种方式产生的线性联络 ∇ 称为与 Q 相容。与 Q 相容的联络也称为容许的联络

具体说来,容许联络可用活动标架[3]来理解。TM一个局部截面(即 M 的一个标架)定义了 Q 的一个截面,假设 Vi 是这个它的一组基。任何联络 ∇ 决定了一个取决于基的 1-形式 ω:

X Vi = ωij(X)Vj

这里,作为作为 1-形式矩阵 ω ∈ Ω1(M)⊗gl(n)。一个容许联络是 ω 在 G 的李代数 g 上的一个取值。

G-结构的挠率[编辑]

任何 G-结构伴随有挠率,和联络的挠率有关。注意到一个给定的 G-结构可能有许多不同的容许联络,这些联络可能有不同的挠率。尽管如此,我们还是能够独立地定义 G-结构的挠率如下。[4]

连个容许联络的区别是一个 M 上一个取值于伴随丛 AdQ 的 1-形式。这便是说,容许联络的空间 AQ 是对 Ω1(AdQ) 的一个仿射空间

容许联络的挠率定义了映射

A^Q \to \Omega^2 (TM)\,

映到系数为 TM 中的 2-形式。这个映射是现行的;其线性化

\tau:\Omega^1(\mathrm{Ad}_Q)\to \Omega^2(TM)\,

称为代数挠率映射。给定两个容许联络 ∇ 与 ∇′,它们的挠率张量 TT∇′ 差一个 τ(∇−∇′)。从而T 在 coker(τ) 中的像与 ∇ 的选取无关。

对任何一个联络,T 在 coker(τ) 中的像称为 G-结构的挠率。如果一个 G-结构的挠率为 0,称为无挠的。这恰好在 Q 有一个无挠容许联络时发生。

例:殆複结构的挠率[编辑]

G-结构的一个例子是殆複结构,这是将一个偶数维流形的结构群约化为 GL(n,C)。这样的约化由一个 C-线性自同态 J ∈ End(TM) 使得 J2 = −1 惟一确定。在此情形,挠率可明确地算出来:

一个简单的维数计算说明

\Omega^2(TM)= \Omega^{2,0}(TM)\oplus \mathrm{im}(\tau),

这里 Ω2,0(TM) 是满足

B(JX,Y) = B(X, JY) = - J B(X,Y).\,

的形式 B ∈ Ω2(TM) 的空间。

从而,一个殆复结构的挠率可以视为 Ω2,0(TM) 中一个元素。容易验证一个殆复结构的张量等于它的尼延黑斯张量

高阶 G-结构[编辑]

一个特定的 G-结构(例如,辛形式)上的壮观的可积性条件可通过扩张程序处理。在这种情形,扩张后的 G-结构不能构和线性标架从的一个 G-子丛等价。许多情况下,扩张后它自身也是一个主丛,而其结构群可以等价于高阶射流群的一个子群。此时,它也称为一个高阶 G-结构(Kobayashi)。一般地,嘉当等价方法运用到这种情形。

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 结构群是一个李群 G \to GL(n,\mathbf{R}) 映到一般线性群 GL(n,\mathbf{R})。这经常是但不必是李子群;例如,对一个spin 结构映射是像的覆盖空间
  2. ^ Kobayashi (1972).
  3. ^ Kobayashi (1972) I.4.
  4. ^ Gauduchon (1997).

参考资料[编辑]

  • Chern, S.S.. The geometry of G-structures. Bull. Amer. Math. Soc. 1966, 72: 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8. 
  • Gauduchon, P.. Canonical connections for almost-hypercomplex structures. Complex Analysis and Geometry, Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman. 1997: pp. 123–136. 
  • Kobayashi, S.. Transformation Groups in Differential Geometry. Classics in Mathematics. Springer. 1972. ISBN 3-540-58659-8. OCLC 31374337. 
  • Sternberg, S. Lectures on Differential Geometry (2nd ed.). New York: Chelsea Publishing Co. 1983. ISBN 0-8218-1385-4. OCLC 43032711.