Gross-Pitaevskii方程

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Gross–Pitaevskii 方程(以Eugene P. Gross命名[1]Lev Petrovich Pitaevskii[2]) 描述了全同玻色子量子体系的基态,其中使用了Hartree-Fock近似赝势相互作用模型。

在Hartree-Fock近似中,个玻色子体系的总波函数为单粒子波函数之积

其中为第个玻色子的坐标。

赝势模型下的哈密顿量为

其中为玻色子质量,为外势场,为玻色子-玻色子散射长度,为狄拉克δ函数。

如果单粒子波函数满足Gross-Pitaevski方程,

则总波函数在归一化条件下可以使赝势模型哈密顿量的总能量最小。

Gross-Pitaevski方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚单粒子波函数的模型方程。它有类似金兹堡-朗道方程的形式,也会被称为非线性薛定谔方程.

玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 是处于同一量子态的玻色气体可以由同一个波函数进行描述。单个粒子可有单粒子波函数描述。真实气体中粒子相互作用包含在相应的多体薛定谔方程当中。当气体中粒子间距大于散射长度英语Scattering length(即所谓的稀薄极限)时,真实的相互作用势就可以被替换为赝势。Gross-Pitaevskii方程的非线性来源于粒子间的相互作用。当把方程中相互作用的耦合常数设为零时,非线性消失,方程以描述单粒子在势阱中的单粒子薛定谔方程的形式出现。

方程形式[编辑]

Gross-Pitaevskii方程的形式类似于一般薛定谔方程,但是多出一个相互作用项。耦合常数正比于两个相互作用玻色子间的散射长度

,

其中为约化普朗克常数能量密度

其中为波函数,为外部势场。 对于体系内粒子数守恒的不含时Gross–Pitaevskii方程

其中化学势。化学势是从粒子数与波函数间的关系中得到的

从不含时Gross-Pitaevskii方程中,我们可以求得各种外势场中玻色爱因斯坦凝聚的内部结构(例如,谐振子势阱)。

含时Gross-Pitaevskii方程为

利用含时Gross–Pitaevskii方程人们可以研究玻色爱因斯坦凝聚的动力学问题。

方程解[编辑]

鉴于Gross–Pitaevskii方程为非线性偏微分方程,一般很难求得解析解,大多数求解应用近似方法。

精确解[编辑]

自由粒子[编辑]

最简单的情况是描述自由粒子,外势场

该解常被称为Hartree解。尽管它满足Gross–Pitaevskii方程,由于相互作用,其能谱中含有间隙

根据Hugenholtz–Pines定理[3],含斥力相互作用的玻色气体并无能量间隙。

孤子[编辑]

一维孤子可以构成玻色爱因斯坦凝聚,取决于相互作用是引力还是斥力,形成亮孤子或暗孤子。两种孤子都是均匀密度背景下的定域扰动。如若相互作用是斥力形式的, ,Gross–Pitaevskii方程的可能解为,

,

其中为凝聚态波函数在无穷远处的值,相干长度。此解代表暗孤子,它描述在空间上原本均匀分布的密度出现了缺失。暗孤子是一种拓扑缺陷,因为在经过原点处符号发生翻转。这对应了数学上相移

对于

其中化学势为。此解为亮孤子, 代表了空间上的凝聚。

一维方势阱[编辑]

变分解[编辑]

对于难以得到精确解析解的体系,人们可以使用变分法。代入含某可调参数的已知波函数,求解体系自由能,找到使体系能量降为最低的参数。

托马斯-费米近似[编辑]

如果气体中粒子数量很多,原子间相互作用极大,以至于原子自身动能可以从Gross-Pitaevskii方程中忽略,此时近似为托马斯-费米近似

玻戈留玻夫近似[编辑]

对Gross-Pitaevskii方程的玻戈留玻夫处理可以找到玻色爱因斯坦凝聚的元激子。凝聚态波函数可以近似为平衡态波函数与一个小的扰动之和

此波函数与其复共轭代入到含时Gross–Pitaevskii方程中,对作展开近似到第一项(线性化)

假定有如下形式

可以得到如下的耦合微分方程

对于各向同性体系,即,可以假设是动量为平面波,可得能谱

很大时,色散关系呈现为的平方,正如所料类似于非相互作用的激子。当很小,色散关系为线性,

其中为凝聚态中的声速。 表明,根据Landau的判则,该凝聚态为超流体,意味着如果一个物体在凝聚态中以小于的速度运动,它不会形成激子,运动无耗散,此为超流体的特征。实验上,采用高度聚焦激光,激光频率较共振频率小,已经证明了凝聚态的超流性[4]。采用二次量子化公式,微观方法可以描述凝聚态同样的色散关系。

参考文献[编辑]

  1. ^ Gross, E.P. Structure of a quantized vortex in boson systems. Il Nuovo Cimento. May 1961, 20 (3): 454–457. doi:10.1007/BF02731494. 
  2. ^ Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas. Soviet Physics JETP. 1961, 13 (2): 451–454 [2011-03-31]. 
  3. ^ Hugenholtz, N. M.; Pines, D. Ground-state energy and excitation spectrum of a system of interacting bosons. Physical Review. 1959, 116 (3): 489–506. Bibcode:1959PhRv..116..489H. doi:10.1103/PhysRev.116.489. 
  4. ^ Evidence for a Critical Velocity in a Bose–Einstein Condensed Gas C. Raman, M. Köhl, R. Onofrio, D. S. Durfee, C. E. Kuklewicz, Z. Hadzibabic, and W. Ketterle

Theory of Bose_Einstein condensation in trapped gases Franco Dalfovo and Stafano Giorgini Reviews Modern Physics

更多阅读[编辑]

  • Pethick, C. J. & Smith, H. Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0521665809. .
  • Pitaevskii, L. P. & Stringari, S. Bose–Einstein Condensation. Oxford: Clarendon Press. 2003. ISBN 0198507194. .