LQR控制器

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

最优控制理論主要探討的是讓动力系统以在最小成本來運作,若系統動態可以用一組线性微分方程表示,而其成本為二次泛函,這類的問題稱為線性二次(LQ)問題。此類問題的解即為線性二次調節器英语:linear–quadratic regulator),簡稱LQR

LQR是回授控制器,方程式在後面會提到。LQR是LQG(線性二次高斯)問題英语Linear-quadratic-Gaussian control解當中重要的一部份。而LQG問題和LQR問題都是控制理论中最基礎的問題之一。

簡介[编辑]

控制機器(例如飛機)的控制器,或是控制製程(例如化學反應)的控制器,可以進行最佳控制,方式是先設定成本函數英语Loss function,再由工程師設定加權,利用數學演算法來找到使成本函數最小化的設定值。成本函數一般會定義為主要量測量(例如飛行高度或是制程溫度)和理想值的偏差的和。演算法會設法調整參數,讓這些不希望出現的偏差降到最小。而控制量的大小本身也會包括在成本函數中。

LQR演算法減少了工程師為了讓控制器最佳化,而需付出的心力。不過工程師仍然要列出成本函數的相關參數,並且將結果和理想的設計目標比較。因此控制器的建構常會是迭代的,工程師在模擬過程中決定最佳控制器,再去調整參數讓結果更接近設計目標。

在本質上,LQR演算法是找尋合適狀態回授控制器自動化方式。因此也常會有控制工程師用其他替代方式,例如全狀態回授(也稱為極點安置)的作法,此作法對控制器參數和控制器性能之間的關係比較明確。而LQR演算法的困難之處在找合適的加權因子,這也限制了以LQR控制器合成的相關應用。

有限時間長度,連續時間的LQR[编辑]

方程式如下的連續時間線性系統,

其二次成本泛函為

其中F、Q和R都是正定矩陣

可以讓成本最小化的回授控制律為

其中

是連續時間Riccati方程的解:

邊界條件如下

Jmin的一階條件如下

(i) 狀態方程

(ii) 協態方程

(iii) 靜止方程

(iv) 邊界條件

無限時間長度,連續時間的LQR[编辑]

考慮以下的連續時間線性系統

其成本泛函為

可以讓成本最小化的回授控制律為

其中定義為

代數Riccati方程英语Algebraic Riccati equation的解

也可以寫成下式

其中

有限時間長度,離散時間的LQR[编辑]

考慮離散時間的線性系統,定義如下 [1]

其性能指標為

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

其中

是由動態Riccati方程倒退時間佚代計算而得

從終端條件開始計算。注意沒有定義,因為 是由推導到其最終狀態

無限時間長度,離散時間的LQR[编辑]

考慮離散時間的線性系統,定義如下

其性能指標為

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

其中

是離散代數Riccati方程英语Algebraic Riccati equation(DARE)的唯一正定解。

.

可以寫成

其中

.

而求解代數Riccati方程的一個方式是迭代計算有限時間的動態Riccati方程,直到所得的解收斂為止。

參考資料[编辑]

  1. ^ Chow, Gregory C. Analysis and Control of Dynamic Economic Systems. Krieger Publ. Co. 1986. ISBN 0-89874-969-7. 
  • Kwakernaak, Huibert & Sivan, Raphael. Linear Optimal Control Systems. First Edition. Wiley-Interscience. 1972. ISBN 0-471-51110-2. 
  • Sontag, Eduardo. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. 1998. ISBN 0-387-98489-5. 

外部連結[编辑]