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三角形的「大角對大邊,小角對小邊」性質可以用正弦定理證明嗎?

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由FrankD666虾仁饭做出的摘要

已解决

克勞棣 (留言贡献)

如題,謝謝!

極冷 (留言贡献)

可以的。

因为在三角形的三个角里,只有最大角A的正弦值最大,因为另两个角都不大于(180-A),因此另两个角的正弦值会小

克勞棣 (留言贡献)

你的意思是不是角度越大,其正弦值也越大?

叠碟不休 (留言贡献)

不是 你这么想,设A为最大角,sinA=sin(180-B-C)=sin(B+C),而在三角形中无论如何都不会出现SinB或者SinC大于等于Sin(B+C)的情况。这就是大边对大角的原理。小边对小角也可以证明。

克勞棣 (留言贡献)

但我現在要證明的是「大角對大邊,小角對小邊」,而不是反過來──「大邊對大角,小邊對小角」。

彭鹏 (留言贡献)

如果是锐角或直角三角形可以直接证明:

若90º≥∠A>∠B,则sinA>sinB,根据正弦定理可得,a>b

如果是钝角三角形嘛,可以用反证法试试:

假设∠A>90º>∠B,且a<b,

那么根据正弦定理,sinA<sinB,

又因为sinA=sin(180º-A),所以sin(180º-A)<sinB

又因为180º-A与B均小于90º,所以180º-A<B,即180º<A+B,这与三角形的内角和等于180º矛盾,所以假设不成立。


克勞棣 (留言贡献)
如果是鈍角三角形,我問過別的高手,他是這樣證的:
設∠A是鈍角,且∠A>∠B≧∠C
則90°>∠B+∠C>∠B≧∠C
sinA=sin(180°-(B+C))=sin(B+C)>sinB≧sinC (註)
即sinA>sinB≧sinC,根據正弦定理,a>b≧c。
註:第一象限內,角度越大,sin值越大。