在Wikipedia:知识问答的话题

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克勞棣 (讨论贡献)

有三角形ABC,D為AB邊上某一點,且線段CD將三角形ABC分成兩個相似三角形,請證明角ACB為直角或角A=角B。謝謝!

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SteepPeak (讨论贡献)

证明:由三角形相似,易知 ,

则(1)若 ,

;

(2)若 ,

,

, ,

.

综上, .

SteepPeak (讨论贡献)

补充:关于开头的“ ”,可用反证法解决,思路如下:

1° 三角形为锐角三角形,则若不垂直,分割的两个图形一钝一锐,不可能相似;

2° 三角形为钝角三角形,

i 若从锐角所在顶点分割,则割得两三角形钝角大小不等;

ii 若从钝角所在顶点分割,假设相似成立,则有三角形I的钝角=三角形II的钝角,又由三角形外角定理,三角形I的钝角=三角形II的钝角+三角形II与原三角形重合的锐角,则锐角=0,不成立(此处三角形II的钝角所在顶点与原三角形钝角所在顶点重合)

3° 三角形为直角三角形,参考2°

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