在Wikipedia:知识问答的话题

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正整數x除以10、12、14所得餘數都是質數,求x的所有可能解

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克勞棣 (讨论贡献)

x是未滿420的正整數,x除以10、12、14所得餘數分別是,且為兩兩相異的質數,求x的所有可能解。謝謝!

Brror (讨论贡献)

17 27 35 47 53 55 83 103 115 137 167 195 203 207 223 227 235 293 315 327 335 375 377 383 395 403 413

克勞棣 (讨论贡献)

請問怎麼算的?

Brror (讨论贡献)

写程序计算出来的

克勞棣 (讨论贡献)

那如果我只求x共有「幾個」可能解,而不要求實際值,有算式可以算出「27個」這個答案嗎?

TBBnozomi (讨论贡献)

有可能。

按题目条件,x mod 10,12和14应该是三个互不相等的素数,首先考虑这个同余等式组的相容性。假定某个模数模出来等于2(这也是素数嘛),则立即可以推断出x应该是偶数,因此x模另外两个数的结果也应该是偶数,若他们也是素数,那么也应该都是2。这就违背了余数两两互素这个条件。因此可以断定三个余数必然都是奇素数。

那剩下的就简单了。可以得到,剩下的事就是找出这里面有多少个互不相同的三元组,每一个不完全相同的三元组都能唯一的确定一个满足条件的小于420的x(由上次讨论的结果)。显然,满足条件的三个数互不相同的三元组有27个,因此满足条件的x也刚好27个。