在维基百科:知识问答/存档/结构式讨论的话题

x是未滿420的正整數，x除以10、12、14所得餘數分別是$r_{1}$、$r_{2}$、$r_{3}$，且$r_{1}$、$r_{2}$、$r_{3}$為兩兩相異的質數，求x的所有可能解。謝謝！

17 27 35 47 53 55 83 103 115 137 167 195 203 207 223 227 235 293 315 327 335 375 377 383 395 403 413

請問怎麼算的？

写程序计算出来的

那如果我只求x共有「幾個」可能解，而不要求實際值，有算式可以算出「27個」這個答案嗎？

有可能。

按题目条件，x mod 10，12和14应该是三个互不相等的素数，首先考虑这个同余等式组的相容性。假定某个模数模出来等于2（这也是素数嘛），则立即可以推断出x应该是偶数，因此x模另外两个数的结果也应该是偶数，若他们也是素数，那么也应该都是2。这就违背了余数两两互素这个条件。因此可以断定三个余数必然都是奇素数。

那剩下的就简单了。可以得到$r_{1}\in \{3,5,7\}$，$r_{2}\in \{3,5,7,11\}$和$r_{3}\in \{3,5,7,11,13\}$，剩下的事就是找出这里面有多少个互不相同的三元组，每一个不完全相同的三元组都能唯一的确定一个满足条件的小于420的x（由上次讨论的结果）。显然，满足条件的三个数互不相同的三元组有27个，因此满足条件的x也刚好27个。