Tor函子

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

交換代數中,Tor 函子張量積導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。

定義[编辑]

。令 為左 -模範疇、 為右 -模範疇(若 交換環,則兩者等價)。固定一對象 ,考慮函子

這是從 阿貝爾群範疇 的右正合函子(若 為交換環,則它是映至 的右正合函子),因此能考慮其左導函子 ,記為

換言之,對任一左 -模 射影分解

去掉尾項 ,並對 取張量積,得到鏈複形

並取其同調群,則得到

此外,Tor 函子也能以 的左導函子定義,兩種定義給出自然同構的函子。

性質[编辑]

  • Tor 函子與直和交換:
  • 對任何 是從 加法函子。若 是交換環,則它是從 的加法函子。
  • 依據導函子性質,每個短正合序列 導出長正合序列
對第二個變數亦同。
  • 為交換環, 非零因子,則
這是 Tor 函子的詞源。
  • 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解(因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的),此時對所有 ,有

譜序列[编辑]

為交換環,-模,並固定一個環同態 。我們有雙函子的自然同構:

由此導出格羅滕迪克譜序列:對任何 -模 ,有譜序列

與平坦模的關係[编辑]

一個右 -模是平坦模的充要條件是 。此時可推出 。左 -模的情況準此可知。事實上,計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解;凡射影分解必為平坦分解,反之則不然;平坦分解在技術上較富彈性。

文獻[编辑]

  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1