User:Ab3080888/沙盒

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微积分学中,多元微积分 (也称为多变量微积分Multivariable calculusmultivariate calculus)是由多个变量组成的微积分。相较于只有一个变量的单变量微积分,多变量微积分在函数的求导和积分等运算中含有不少于两个变量。

典型运算[编辑]

极限与连续[编辑]

在多变量微积分领域,对函數極限函数连续性的研究可导致许多“反直觉”的结果。例如,一些含有两个变量的标量函数),当x,y沿不同路径(例如直线与抛物线)趋近于极限点时,函数的值不同。例如,函数

沿任何直线 趋近于原点 时,f趋近于0。然而,当变量x,y沿抛物线 趋近于原点时,f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同,故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件: 例如, 含有两个变量的实数函数 ,对于每一个固定的 关于 的函数在其定义域内连续。同样的,对于每一个固定的 关于 的函数在其定义域也内连续,但这不能说明原函数连续。

作为一个例子,考虑函数

很容易验证,在实数域中,定义函数: ,则对于每一个固定的 上连续。同理,函数 也是关于 的连续函数。然而,函数 在原点是不连续的。 考虑序列 ( 自然数),若在原点连续其结果应为 。然而,通过计算知其在原点的极限为 。 因此, 在原点不连续。

偏导数[编辑]

偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数,所有其他变量视作常数,保持不变。

偏导数可被结合从而创造出复杂形式的导数。在向量分析中,Nabla算子()依据偏导数被用于定义这些概念:梯度散度旋度。在含有偏导数的矩阵中,雅可比矩阵可以用来表示任意维度的空间之间的函数的导数。 导数可因此理解为从一个域到另一个域的线性映射

含有偏导数的微分方程被称为偏微分方程PDEs。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难被解出。

重积分[编辑]

重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。

曲面积分曲线积分可用于计算流形,例如曲面曲线

多变量微积分基本定理[编辑]

在单变量微积分中,微积分基本定理建立了导数与积分的联系。 多变量微积分中导数与积分之间的联系,体现为矢量微积分的积分定理:

在对多变量微积分更深层次的研究中,可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现,即广义斯托克斯定理

应用[编辑]

定义域/值域 适用
曲线 Osculating circle.svg 曲线长度,曲线积分,曲线曲率.
曲面 Helicoid.svg 表面积,曲面积分,通量,曲面曲率.
标量场 Surface-plot.png 极大值和极小值,拉格朗日乘数,方向导数.
向量場 Vector field.svg 有关向量分析的运算,包括梯度,散度,旋度.

参见[编辑]

外部链接[编辑]