Wess-Zumino-Witten模型

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理論物理數學中, Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型,又稱Wess-Zumino-Novikov-Witten model,乃一簡單之 共形場論,其解可以用仿射李代數表達。其名來自 Julius WessBruno ZuminoSergei P. NovikovEdward Witten

作用[编辑]

G緊緻單連通李羣,設g為其李代數。設γ為黎曼球面複平面之一點緊緻化)上一G-值場

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma 模型,其作用

其中首項為量子場論中常見之動量項,重覆指標相加,度量為歐幾里得度量g上之Killing 二次式,而偏導數

SWZ 項人稱 Wess-Zumino 項,其定義為

其中 [,] 為交換子完全反對稱張量i=1,2,3,為積分座標,取值於單位球 。 在此積分中,場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能,是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣俱為零(γ已於球面上定義)。

拉回[编辑]

注意:若 為李代數g基向量,則g結構常數。結構常數是反對稱的,因而定義了一G 上一个三次微分形式。故上述積分實為球上之三次調和式的拉回。記此三次式為 c、其拉回為 ,則我们有

自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。

拓撲障礙[编辑]

γ 有多種延拓至球之內部;若要求物理現象不依賴於特定之延拓,則常數k需符合以下「量子條件」:

  • 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界 黏起此兩個三維球,則成一三維球面;其中每一三維半球面來自一。 γ 之兩種延拓則成為一影射: 。然而,任何緊緻單連通李羣G之同倫羣

。故

其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓, n為一整數——黏合後影射之卷绕数。兩種延拓會帶來相同的物理系統,若

是故,耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣,或不連通緊緻羣, 則由每一連通部所給之一整數構成此階(level)。

此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。 當每一階為一整數,則存在該仿射李代數之最高權表示,而其最高權為 dominant integral。此等表示是可積表示[1]

我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣-例如 SL(2,R)-之 WZW 模型。Juan MaldacenaHirosi Ooguri 以此描述三維反 de sitter 空間[2]上之弦理論。此時 π3(SL(2,R))=0,故不存在拓撲障礙,而其階亦不必為整數。

推廣[编辑]

上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。

Current 代數[编辑]

參攷[编辑]

  • J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
  • E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
  • V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras

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  1. ^ Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章,
  2. ^ en:anti de Sitter space,為SL(2,R)之通用覆蓋