數學上,一個局部可積函數的哈代-李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數在一點的值,是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界。
對一個在
上定義的局部可積函數f,可定義其哈代-李特爾伍德極大函數Mf如下
![{\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc73c1733736cc0fed666ad1fea2f01913390305)
(Mf(x)可能是
。) 其中m是
上的勒貝格測度。
Mf(x)是下半連續函數。
對任何
,可假設Mf(x) > 0。(否則幾乎處處f=0)
任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得
![{\displaystyle c_{1}:={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)>c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d6bb9775a8586c9e83142ca68516c9edf8ee4c)
存在
使得
。
對任何
,有
所以
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Mf(x')\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x',r+\delta )}|f(y)|dm(y)\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x',r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x,r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&>c_{1}\cdot {\frac {c}{c_{1}}}=c\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd902eb7b9ff91d0dfae04f3d0ce89f93b8bbae0)
因此Mf是下半連續。
設
為可積函數,對任何常數
,有不等式
![{\displaystyle m(\{Mf>c\})\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab52710df204a737622d959db90c6592ca6b719)
對每個在集合
內的點x,都有
,使得
![{\displaystyle {\frac {1}{m(B(x,r_{x}))}}\int _{B(x,r_{x})}|f(y)|dm(y)>c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c8ba2ed13c3237b73c6a6591f063d6d2ac102f)
設K為
內的緊集。開球
是K的一個開覆蓋。因K緊緻,存在有限子覆蓋
。(
)
用維塔利覆蓋引理,這有限子覆蓋中存在子集
,當中的開球兩兩不交,而且將這些開球的半徑增至三倍後
可以覆蓋K。於是
![{\displaystyle {\begin{aligned}m(K)&\leq \sum _{i_{j}}m(B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}}))\\&=\sum _{i_{j}}3^{n}m(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))\\&<\sum _{i_{j}}{\frac {3^{n}}{c}}\int _{B(x_{i_{j}},r_{i_{j}})}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}}{c}}\int _{K}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2210b32dacc3dd14520938375220f0eb56423f10)
上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性,集合
的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界,故有
![{\displaystyle m(\{Mf>c\})=\sup _{K}m(K)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19f2a5ba545a54b010ff1e8d51b89a3c723da20)
哈代-李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理。
- Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.