普遍化

普遍化（generalization）是數理邏輯裡一條極為常用的規則，直觀來說，這條規則在滿足一條件下，可以將原合式公式推廣成被全称量化的版本。

視為元定理

主条目：一阶逻辑 § 普遍化元定理

在谓词演算裡，以下的元定理

元定理 — 在 ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}$ 裡變數 $x$ 都完全被約束，若

${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash {\mathcal {B}}$

則有

${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash (\forall x){\mathcal {B}}$

就是一般所稱的普遍化。

視為推理規則

普遍化可以視為谓词演算的一條推理规则，也就是說：（ 以下的 $x$ 為任意變數，${\mathcal {A}}$ 為任意合式公式）

${\mathcal {A}}$可以推出 $\forall x{\mathcal {A}}$。

也可以用相继式表記為

${\mathcal {A}}\vdash \forall x{\mathcal {A}}$

但這個推理規則會嚴苛地限制演绎定理的適用範圍，如

$\vdash P(x)\Rightarrow \forall xP(x)$

不成立，因为無法確定變數 $x$ 在$P(x)$有沒有完全被約束（參見上面元定理一節）。這就破壞了元語言的＂十字旋轉門＂「 $\vdash$」跟逻辑语言的「$\Rightarrow$」間的聯繫。也就是說，直觀上「 以合式公式${\mathcal {A}}$為前提，根據推理規則和公理可以推出合式公式${\mathcal {B}}$」跟「根據推理規則和公理可以推出合式公式${\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}$」是等價的，但將普遍化視為推理規則就不免打破這個直觀聯繫。

证明的例子

以下的證明是基於將普遍化視為推理規則 。

$\vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]$

证明：

编号	公式	理由
1	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]$	假设
2	$\forall xP(x)$	假设
3	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [P(x)\Rightarrow Q(x)]$	公理 PRED-1
4	$P(x)\Rightarrow Q(x)$	从 (1) 和 (3) 通过肯定前件
5	$\forall xP(x)\Rightarrow P(x)$	公理 PRED-1
6	$P(x)\$	从 (2) 和 (5) 通过肯定前件
7	$Q(x)\$	从 (6) 和 (4) 通过肯定前件
8	$\forall xQ(x)$	从 (7) 通过普遍化
9	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)],\,\forall xP(x)\vdash \forall xQ(x)$	总结 (1) 到 (8)
10	$\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\vdash \forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)$	从 (9) 通过演绎定理
11	$\vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]$	从 (10) 通过演绎定理

步骤(10)中，因为 $\forall xP(x)$ 裡$x$完全被約束，所以可以套用演繹定裡，步骤(11)也是基於類似的理由。