九点圆定理

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九点圆

九点圆定理指出:在平面中,三角形,其三边的中点、三高的垂足、顶点垂心的三条线段的中点,必然共圆,这个圆被称为九点圆,又称欧拉圆费尔巴哈圆。 九点圆具有以下性质:

  • 九点圆的半径外接圆的一半,且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
  • 圆心欧拉线上,且在垂心外心的线段的中点。
  • 九点圆和三角形的内切圆旁切圆相切(费尔巴哈定理)。
  • 圆周上四点任取三点做三角形,四个三角形的九点圆圆心共圆(库利奇-大上定理)。

历史[编辑]

1765年,莱昂哈德·欧拉证明:“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆(六点圆)。”许多人误以为九点圆是由而欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点圆的人是彭赛列(1821年)。1822年,卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆,并得出“九点圆和三角形的内切圆旁切圆相切”,因此德国人称此圆为费尔巴哈圆,并称这四个切点费尔巴哈点库利奇大上分别于1910年与1916年发表库利奇-大上定理“圆周上四点任取三点做三角形,四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边形的九点圆,此结果还可推广到n边形。

九点圆证明[编辑]

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如图:为三边的中点,为垂足,为和顶点到垂心的三条线段的中点。

  • 容易得出相似)
  • 因此
  • 同样可得出相似)
  • 因此
  • ,可得出四边形矩形(四点共圆)
  • 同理可证也是矩形(共圆)
  • ,因此可知也在圆上(圆周角相等)
  • 同理可证两点也在圆上(九点共圆)

性质证明[编辑]

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九点圆的半径是外接圆的一半,且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。

  • 直角坐标系中,我们知道的方程为,其中为圆的半径,为圆的圆心坐标。若做圆上三点与点的中点的轨迹,则此轨迹的方程式为:
  • 为外接圆的半径、为外接圆的圆心坐标、点为垂心坐标。
  • 已知九点圆通过顶点到垂心的三条线段的中点,故此轨迹圆就是九点圆,半径是外接圆的一半,且平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
  • 同时还可以得出下面的性质:
  • 圆心在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点。由此可知,给定三角形顶点座标,九点圆圆心为

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  • 圆周上四点任取三点做三角形,四个三角形的九点圆圆心共圆(库利奇-大上定理)。

其他[编辑]

  • 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足(相对于对棱)共球的特例,两者是同构的
  • 主旁心三角形的九点圆是三角形的外接圆
  • 中点三角形的外接圆是三角形的九点圆
  • 三线坐标中,九点圆的座标为
  • 三线坐标中,费尔巴哈点的座标为

参见条目[编辑]

参考资料[编辑]