事件 (概率论)

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概率论中,随机事件(或简称事件)指的是一个被赋与几率的事物集合,也就是样本空间中的一个子集。简单来说,在一次随机试验中,某个特定事件可能出现也有可能不出现;但当试验次数增多,我们可以观察到某种规律性的结果,就是随机事件。基本上,只要样本空间是有限的,则在样本空间内的任何一个子集合,都可以被称为是一个事件。然而,当样本空间是无限的时候,特别是不可数之时,就常常不能定义所有的子集为随机事件了。因此,为了定义一个概率空间,常常需要去掉样本空间的某些子集,规定他们不能成为事件。

例子[编辑]

假设我们有一堆52张的扑克牌,并闭着眼睛在这堆牌中抽取一张牌,那么用概率论的术语来说,我们实际上是在做一个随机试验。这时,我们的样本空间是一个有着52个元素的集合,因为任意一张牌都是一个可能的结果。而一个随机事件,则是这个样本空间的任意一个子集(这个任意子集包括空集,一个元素的集合及多个元素的集合)。运用组合知识可以知道,随机事件一共有种。当这个事件仅仅包括样本空间的一个元素(或者说它是一个单元素集合)的时候,称这个事件为一个基本事件。比如说事件“抽到的牌是黑桃7”。当事件是空集时,称这个事件为不可能事件。当事件是全集时,则称事件是必然事件。其它还有各种各样的事件,比如:

  • “抽到的牌是小丑”(也是不可能事件)
  • “抽到的牌是红桃3”(基本事件)
  • “抽到的牌数字是9”(包含4个元素)
  • “抽到的牌是方块”(包含13个元素)
  • “抽到的牌是红颜色的并且数字小于等于10”(包含20个元素)
  • “抽到的牌不是红桃3”(包含51个元素)

由于事件是样本空间的子集,所以也可以写成集合的形式。有时候写成集合的形式可能会很困难。有时候也可以用文氏图来表示事件,这时可以用事件所代表图形的面积来按比例显示事件的概率。

事件与概率空间[编辑]

当样本空间有限,试验中每个基本事件发生的可能性相同的时候,称为古典概型。这时可以(也是一般用到的)取样本空间的所有的子集作为事件。然而,当样本空间不是有限的时候,特别是当样本空间是实数的时候,就不能取所有的子集作为事件了。其中的根本原因在于概率的定义。一般来说,当研究一个随机事件的时候,我们希望知道它发生的概率。事件发生的概率是一个介于0和1之间的数。当样本空间是不可数的时候,如果我们取样本空间所有的子集,那么概率论的公理系统会产生数学上的矛盾,也就是说,会有一些子集无法被定义概率。具体地说,概率论的公理系统是由三个部分组成的,又称为概率空间。这个空间包括:样本空间、事件集合(又称为事件体)以及定义在这上面的一个取概率的运算:。其中的事件集合是一个σ-代数,而取概率的运算 需要满足概率的加法公理(σ-Additive):

如果一系列事件两两互斥(也就是说对任意的都是空集。此亦称为pairwise disjoint)那么就有:

这个公理是符合一般人的直觉的:如果几件事情互相之间相互排斥,那么“它们几个中有一个发生”的概率应该等于其中每一个发生的概率的和。

然而,对于不可数的样本空间,如果选全部的子集作为事件的话,会有一些子集,无论怎样为他们定义概率,都会违反加法公理。[1]

一个反例[编辑]

假设小明和小华玩一个游戏,让小华随意说一个0到1之间的实数。小明为了研究概率,选择了所有[0,1]的子集作为概率集合。他将所有的0到1之间的有理数取出来。由于0到1之间的有理数是可数集合,所以可以做标号:。对于每一个0到1之间的实数,小明将作为一个集合,如果其中有大于1的,就减去1。这个集合是由可数个数构成的,小明把它记作。所有这些集合的并集是区间[0,1],而它们之间两两不相交。然后将每个写成:

再令:

遍历所有 集合中的 所构成的集合。
遍历所有 集合中的 所构成的集合。
如此等等,

那么所得到的事件(也就是集合)的并集也是区间[0,1],而且它们之间两两不相交。由于这些事件之间地位相等,所以它们的概率都是一样的。 如果,那么根据加法原则,

而如果,那么根据加法原则,仍然有:

因此无论如何,都会导致矛盾。也就是说小明无法为事件定出一个概率。在一般的测度理论中,这种集合称为(勒贝格)不可测集合[2]

事件之间的关系[编辑]

两个随机事件之间可以有各种各样的关系。

  • 包含关系:通常用符号表示。一个事件包含另一个事件记作:。这时只要事件发生,那么事件也一定发生。这个关系其实就是集合论中的包含关系。举之前扑克牌的例子来说,假设事件是“抽出的牌上数字是8”,事件是“抽出的牌是梅花8”,那么事件包含事件:只要抽出的是梅花8,牌上的数字自然就是8。
  • 等价关系:两个事件对应的子集完全相等,记作。例子:事件“抽出的牌花色是黑桃并且数字比3小并且数字是偶数”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等价的。
  • 对立关系:两个事件只能有一个发生,并且必然有一个发生,则它们是对立关系。这种关系对应的集合论术语是“补集”。
  • 互斥关系:两个事件只能有一个发生,但并不必然有一个发生。这时也称两个事件之间是互不相容的。

独立事件[编辑]

如果两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积,那么就称这两个事件是相互独立的。比如说,“抽到的牌是红桃”和“抽到的牌数字是4”就是相互独立的,因为两者同时发生——抽到的牌是红桃4——的概率是52分之1,而“抽到的牌是红桃”的概率是4分之1,“抽到的牌数字是4”的概率是13分之1,两者相乘便是52分之1。

事件的运算[编辑]

  • 事件:是事件和事件的和事件(并事件),指的是事件“事件发生或者事件发生”。
  • 事件:是事件和事件的积事件(交事件),指的是事件“事件发生且事件发生”。
  • 事件:是事件和事件的差事件,指的是事件“事件发生且事件不发生”。

在概率运算时,还有:

  • :指的是“事件发生的情况下,事件发生的概率”

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 龚光鲁. 概率论与数理统计. 清华大学出版社. 2006. ISBN 978-7-302-12723-9. ,第13页
  2. ^ 张育丽. Lebesgue不可测集的存在性及其应用. 烟台师范学院学报(自然科学版). 2004, 20: 103-104. 
  • 叶俊 赵衡秀. 《概率论与数理统计》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 7302041566 请检查|isbn=值 (帮助).