数学上,两个集合
和
的交集是含有所有既属于
又属于
的元素,而没有其他元素的集合。
A和
的交集
交集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合
:
![{\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54360e98d87681f93515678a7bf5f38a8388f0b4)
也就是直观上:
和
的交集写作“
”,“对所有
,
等价于
且
”
例如:集合
和
的交集为
。数字
不属于素数集合
和奇数集合
的交集。
若两个集合
和
的交集为空,就是说它们彼此没有公共元素,则他们不相交,写作:
。例如集合
和
不相交,写作
。
更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合
,
和
的交集为
。交集运算满足结合律。即:
![{\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561302dfcb8138a9fc5666b13fc848a9ae257e1b)
以上定义可根据无限并集和补集来推广到任意集合的交集。
取一个集合
,则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合:
。
也就是直观上搜集所有
的集合, 这样的话有:
![{\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67866579140d60b65b1b975dc70004e12e318d1)
根据一阶逻辑的定理(Ce),也就是:
![{\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1899bfcbe3c6795e5a1dedb68d10caf7217fdd51)
但根据一阶逻辑的等式相关定理,下式:
![{\displaystyle (\exists A)(A=M^{c})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a2b66e74b809b864e7bf47c55887d490940d99)
显然是个定理(也就是直观上为真),故:
![{\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2229173dc7d30045af4035ab603d2dd84aa40895)
换句话说:
![{\displaystyle x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181222e21326002687d694698e410451165285c7)
那可以做如下的符号定义:
![{\displaystyle \bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6764f54f2073933bf44057a3d92a59679321004)
称为
的任意交集或无限交集。也就是直观上“对所有
,
等价于对任何
的下属集合
,都有
”
例如:
![{\displaystyle A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f86aa98cbb604b225df63da5804c8f71ada28c)
类似于无限并集,无限交集的表示符号也有多种
可模仿求和符号记为
。
但大多数人会假设指标集
的存在,换句话说
- 若
则 ![{\displaystyle \bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3f6e577fdda3b301e1065cf22ac090f643c72e)
在指标集
是自然数系
的情况下,更可以仿无穷级数来表示,也就是说:
- 若
则 ![{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de32c148fbf83b1dbbdba4f02e1774050ec1dcc)
也可以更粗略直观的将
写作
。