亥姆霍兹线圈

一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器。

亥姆霍兹线圈示意图。

亥姆霍兹线圈（Helmholtz coil）是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。由于亥姆霍兹线圈具有开敞性质，很容易地可以将其它仪器置入或移出，也可以直接做视觉观察，所以，是物理实验常使用的器件。因德国物理学者赫尔曼·冯·亥姆霍兹而命名。

简介

亥姆霍兹线圈是由一对完全相同的圆形导体线圈组成。采用直角坐标系，这两个半径为$R$的圆形线圈的中心轴都与z-轴同轴。两个圆形线圈的z-坐标分别为$h/2$与$-h/2$。每一个导体线圈载有同向电流$I$。

设定$h=R$可以使得在两个线圈中心位置O（即原点）的磁场，其不均匀程度极小化。这动作促使$\partial ^{2}B/\partial z^{2}=0$，也意味着领先的非零微分项目是$\partial ^{4}B/\partial z^{4}$，稍后会对这论点做更详细解释。但是，这样做仍旧会在线圈平面跟z-轴相交处与O点之间遗留大约7%磁场数值的差别。

在某些应用中，亥姆霍兹线圈可以用来抵消地磁场，制造出接近零磁场的区域。

数学描述

在亥姆霍兹线圈的二等分面的磁场线。注意到在两个线圈之间的磁场近似均匀（在这电脑绘图里，线圈的中心轴是纵向的）。

沿着线圈中心轴（z-轴）的磁场。与两个线圈同距离的中心位置的z-坐标为0。

等值线图显示出在亥姆霍兹线圈的磁场的数值大小。在中央的章鱼区域内，磁场数值与中心位置的磁场数值$B_{0}$相差不超过1%。五条等值线的磁场数值分别为$0.5B_{0}$、$0.8B_{0}$、$0.9B_{0}$、$0.95B_{0}$、$0.99B_{0}$。

关于在空间任意位置的精确磁场计算，需要应用到贝索函数或椭圆函数与其相关技巧。沿着线圈的中心轴（z-轴），涉及到的计算比较简单，可以应用泰勒展开，将磁场展开为$z$的幂级数。采用直角坐标系，以亥姆霍兹线圈的中心位置为z-轴的原点O。由于对于xy-平面的对称性，奇数幂项目必等于零。经过调整两个线圈之间的距离$h$，可以使得O点成为拐点，则可以保证$z^{2}$级项目为零，因此领先不均匀项目是$z^{4}$级项目。

在中心位置O点，磁场为

$B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}$；

其中，$\mu _{0}$是磁常数。

推导

采用直角坐标系，设定单匝线圈的中心轴为z-轴，线圈平面与z-轴相交处为原点，则在z-轴的磁场以方程式表示为（这方程式可以从必欧-沙伐定律推导出来）

$B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}$；

其中，$B$是磁场数值大小，$\mu _{0}$是磁常数，$I$是电流，$R$是线圈半径，$z$是检验位置的z-坐标。

对于$n$匝线圈，磁场为

$B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}$。

现在改变系统为亥姆霍兹线圈，其中心位置为原点。原点与线圈平面之间的垂直距离为$R/2$，注意到每一个亥姆霍兹线圈有一对线圈，所以，总磁场为

$B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(R/2)^{2})^{3/2}}}={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}$。

进阶推导

更详细地计算，沿着z-轴的磁场为两个线圈的贡献的叠加：

$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}}\left\{\left[R^{2}+(z-h/2)^{2}\right]^{-3/2}+\left[R^{2}+(z+h/2)^{2}\right]^{-3/2}\right\}{\hat {\mathbf {z} }}$。

在原点附近的磁场，经过一番运算，可以泰勒展开成$z$的幂级数：

$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{d^{3}}}\left[1+{\frac {3(h^{2}-R^{2})z^{2}}{2d^{4}}}+{\frac {15(h^{4}-6h^{2}R^{2}+2R^{4})z^{4}}{16d^{8}}}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}$；

其中，$d={\sqrt {R^{2}+h^{2}/4}}$。

现在设定$h=R$，则$z^{2}$项目为零，在原点附近的磁场更加均匀：

$\mathbf {B} ={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}I}{R}}\left[1-{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}$。

磁场不均匀率与$z$的关系式为

${\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}$。

在$z=\pm R/2$，线圈平面与z-轴相交处，磁场数值的差别为

${\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\approx -7\%$。

参阅

• 麦克斯韦线圈（Maxwell coils）
• 亥姆霍兹共鸣
• 螺线管
• 磁振造影

外部链接

• Helmholtz-Coil Fields （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
• 加州大学洛杉矶分校的高中等离子实验室网页：单独载流循环的磁场精确解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。